कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (x) + \cos (x)$

चरण 1

$y = \sin (x) + \cos (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 2.1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (x) - \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

चरण 2.2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \sin (x) - \cos (x)$ है.

$- \sin (x) - \cos (x)$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

चरण 3.2

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 3.3

अलग-अलग भिन्न

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 3.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 3.5

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 3.6

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 3.6.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 3.7

अलग-अलग भिन्न

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 3.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 3.9

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

चरण 3.10

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$- \tan (x) - 1 = 0$

चरण 3.11

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- \tan (x) = 1$

चरण 3.12

$- \tan (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$- \tan (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 3.12.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 3.12.2.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

चरण 3.12.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.3.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = - 1$

चरण 3.13

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (- 1)$

चरण 3.14

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$x = - \frac{π}{4}$

चरण 3.15

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = - \frac{π}{4} - π$

चरण 3.16

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.1

$2 π$ को $- \frac{π}{4} - π$ में जोड़ें.

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

चरण 3.16.2

$\frac{3 π}{4}$ का परिणामी कोण $- \frac{π}{4} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 3.17

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.17.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 3.17.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 3.17.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 3.17.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 3.18

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $π$ को $- \frac{π}{4}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{4} + π$

चरण 3.18.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 3.18.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.3.1

$π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 3.18.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

चरण 3.18.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.18.4.1

$4$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

चरण 3.18.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{4}$

चरण 3.18.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 3.19

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{3 π}{4}$ को $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.1.2.1.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

चरण 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.1.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.1.2.2.2

$\sqrt{2}$ में से $\sqrt{2}$ घटाएं.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

चरण 4.1.2.2.3

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 4.2

$\frac{3 π}{4}$ को $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{3 π}{4}, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{3 π}{4}$ को $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.3.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

चरण 4.3.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.3.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.3.2.2.2

$\sqrt{2}$ में से $\sqrt{2}$ घटाएं.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

चरण 4.3.2.2.3

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 4.4

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.25619449$ से बदलें.

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ है.

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

चरण 6.3

$2.25619449$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.14118577$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.45619449$ से बदलें.

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

चरण 7.2

अंतिम उत्तर $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ है.

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

चरण 7.3

$2.45619449$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.14118577$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

चरण 9