कैलकुलस उदाहरण

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

चरण 1

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ है.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

चरण 2.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ है.

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{x}{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{4}$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{4}$ से बदलें.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.4

$\frac{x}{4}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$\frac{4}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.2

$\frac{4}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.3.1

$4 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.5.3.2.5

$4 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.6

चूंकि $\frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.7.1

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.7.2

$\frac{4}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.7.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.7.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 2.1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

चरण 2.1.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

चरण 2.1.11.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

चरण 2.1.11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x \ln (\frac{x}{4})$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ है.

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ है.

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{4}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{4}$ से बदलें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.4

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.5

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.6

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.7

$\frac{x}{4}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.8

$\frac{4}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.9

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.10

$\frac{4}{x}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.11

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.12

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.12.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.13

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.14

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.2.15

$\ln (\frac{x}{4})$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.3.2

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

चरण 2.2.3.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

चरण 2.2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

चरण 2.2.4.2.2

$10$ और $5$ जोड़ें.

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ है.

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $15$ घटाएं.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

चरण 3.3

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ के प्रत्येक पद को $10$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ के प्रत्येक पद को $10$ से विभाजित करें.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$10$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

चरण 3.3.2.1.2

$\ln (\frac{x}{4})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$- 15$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$- 15$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

चरण 3.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1

$10$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

चरण 3.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

चरण 3.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

चरण 3.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

चरण 3.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

चरण 3.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

समीकरण को $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करें.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.6.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.2.1

$4 e^{- \frac{3}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.2.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3.6.3.2.1.2

$4$ और $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ को मिलाएं.

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ को $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ से बदलें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ पर लागू करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.3

घातांक को ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.4

$5 \frac{16}{e^{3}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$5$ और $\frac{16}{e^{3}}$ को मिलाएं.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.4.2

$5$ को $16$ से गुणा करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

चरण 4.1.2.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

चरण 4.1.2.6

जोड़ना.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

चरण 4.1.2.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

चरण 4.1.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

चरण 4.1.2.8

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{\frac{3}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

चरण 4.1.2.9

$- \frac{3}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ का प्रसार करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

चरण 4.1.2.10

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

चरण 4.1.2.11

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

चरण 4.1.2.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.12.1

$- \frac{3}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

चरण 4.1.2.12.2

$80$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

चरण 4.1.2.12.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

चरण 4.1.2.12.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

चरण 4.1.2.13

$\frac{40}{e^{3}}$ और $- 3$ को मिलाएं.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

चरण 4.1.2.14

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.14.1

$40$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

चरण 4.1.2.14.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

चरण 4.1.2.15

अंतिम उत्तर $- \frac{120}{e^{3}}$ है.

$- \frac{120}{e^{3}}$

चरण 4.2

$\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ को $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.79252064$ से बदलें.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0.79252064$ को $4$ से विभाजित करें.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

चरण 6.2.1.2

$10$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $10 \ln (0.19813016)$ को सरल करें.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

चरण 6.2.1.3

$0.19813016$ को $10$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $\ln (0.00000009) + 15$ है.

$\ln (0.00000009) + 15$

चरण 6.3

$0.79252064$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 1.18831089$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.99252064$ से बदलें.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0.99252064$ को $4$ से विभाजित करें.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

चरण 7.2.1.2

$10$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $10 \ln (0.24813016)$ को सरल करें.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

चरण 7.2.1.3

$0.24813016$ को $10$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $\ln (0.00000088) + 15$ है.

$\ln (0.00000088) + 15$

चरण 7.3

$0.99252064$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.06198168$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ है.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

चरण 9