कैलकुलस उदाहरण

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- \frac{x^{2}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

चरण 2.1.1.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

चरण 2.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

चरण 2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $- \frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.1.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

चरण 2.1.1.2.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

चरण 2.1.1.2.4.2

$- 2$ और $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

चरण 2.1.1.2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

चरण 2.1.1.2.4.4

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.4.4.1

$- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

चरण 2.1.1.2.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.4.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

चरण 2.1.1.2.4.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

चरण 2.1.1.2.4.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

चरण 2.1.1.2.4.4.2.4

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

चरण 2.1.1.2.4.5

गुणनखंडों को $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

चरण 2.1.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ है.

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- \frac{x^{2}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$- (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3.2

$- (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.2.2

$x$ और $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.3

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.4.2

$- 2$ और $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.8.2.1

$- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.8.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8.2.2.4

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1)$

चरण 2.1.2.10

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}})$

चरण 2.1.2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.1.2.11.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.1.2.11.2.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.1.2.11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.1.2.11.4

गुणनखंडों को $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ है.

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ में से $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ में से $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

चरण 2.2.2.1.2

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ में से $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1 = 0$

चरण 2.2.2.1.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1$ में से $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1) = 0$

चरण 2.2.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

चरण 2.2.2.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

चरण 2.2.2.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

चरण 2.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.2.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

चरण 2.2.4.2

$x$ के लिए $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

चरण 2.2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.2.4.2.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.2.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.2.6

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 1$

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, - 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2.1.2

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2.1.3

$16$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (- 4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2.1.4

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2.1.6

$16$ और $\frac{1}{e^{8}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

चरण 5.2.1.7

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

चरण 5.2.1.8

$16$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

चरण 5.2.1.9

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

चरण 5.2.1.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

चरण 5.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

चरण 5.2.2.2

$16$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{15}{e^{8}}$ है.

$\frac{15}{e^{8}}$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, - 1)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 4)$ धनात्मक है.

$(- \infty, - 1)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

अंतराल $(- 1, 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2.1.3

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2.1.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2.1.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2.1.6

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

चरण 6.2.1.7

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{0}{2}}$

चरण 6.2.1.8

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (0) = 0 - e^{- 0}$

चरण 6.2.1.9

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

चरण 6.2.1.10

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

चरण 6.2.1.11

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 1$

चरण 6.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (0) = - 1$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$- 1$

चरण 6.3

अंतराल $(- 1, 1)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- 1, 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

अंतराल $(1, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

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चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

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चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 7.2.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2.1.3

$16$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2.1.4

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2.1.6

$16$ और $\frac{1}{e^{8}}$ को मिलाएं.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

चरण 7.2.1.7

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

चरण 7.2.1.8

$16$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

चरण 7.2.1.9

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

चरण 7.2.1.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

चरण 7.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 7.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

चरण 7.2.2.2

$16$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{15}{e^{8}}$ है.

$\frac{15}{e^{8}}$

चरण 7.3

अंतराल $(1, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (4)$ धनात्मक है.

$(1, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 1)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(- 1, 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(1, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 9