कैलकुलस उदाहरण

$x e^{- 3 x}$

चरण 1

$x e^{- 3 x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- 3 x}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 3 x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.3.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.3.3.2

$- 3$ को $e^{- 3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.1.3.4

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

चरण 2.1.1.3.5

$e^{- 3 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

चरण 2.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

चरण 2.1.1.4.2

गुणनखंडों को $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ है.

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.2

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- 3 x$ के रूप में सेट करें.

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.4

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.5

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.6

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.7

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.8

$- 3$ को $e^{- 3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.2.9

$e^{- 3 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 3 x$ के रूप में सेट करें.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 2.1.2.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 2.1.2.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 2.1.2.3.2

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3.3

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

चरण 2.1.2.3.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

चरण 2.1.2.3.5

$- 3$ को $e^{- 3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

चरण 2.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

चरण 2.1.2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.2.1

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

चरण 2.1.2.4.2.2

$- 3 e^{- 3 x}$ में से $3 e^{- 3 x}$ घटाएं.

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

चरण 2.1.2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

चरण 2.1.2.4.4

गुणनखंडों को $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ है.

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

चरण 2.2.2

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ में से $3 e^{- 3 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$9 x e^{- 3 x}$ में से $3 e^{- 3 x}$ का गुणनखंड करें.

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

चरण 2.2.2.2

$- 6 e^{- 3 x}$ में से $3 e^{- 3 x}$ का गुणनखंड करें.

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

चरण 2.2.2.3

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ में से $3 e^{- 3 x}$ का गुणनखंड करें.

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

चरण 2.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

चरण 2.2.4

$e^{- 3 x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$e^{- 3 x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- 3 x} = 0$

चरण 2.2.4.2

$x$ के लिए $e^{- 3 x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

चरण 2.2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.2.4.2.3

$e^{- 3 x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.2.5

$3 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$3 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 2 = 0$

चरण 2.2.5.2

$x$ के लिए $3 x - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$3 x = 2$

चरण 2.2.5.2.2

$3 x = 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.1

$3 x = 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

चरण 2.2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

चरण 2.2.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2}{3}$

चरण 2.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{2}{3}$

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, \frac{2}{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

चरण 5.2.1.2

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

चरण 5.2.1.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

चरण 5.2.1.4

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

चरण 5.2.1.5

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

चरण 5.2.1.6

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

चरण 5.2.1.7

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 6$

चरण 5.2.2

$0$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (0) = - 6$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$- 6$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, \frac{2}{3})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, \frac{2}{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6

अंतराल $(\frac{2}{3}, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$9$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

चरण 6.2.1.2

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

चरण 6.2.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

चरण 6.2.1.4

$27$ और $\frac{1}{e^{9}}$ को मिलाएं.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

चरण 6.2.1.5

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

चरण 6.2.1.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

चरण 6.2.1.7

$- 6$ और $\frac{1}{e^{9}}$ को मिलाएं.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

चरण 6.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

चरण 6.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

चरण 6.2.2.2

$27$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{21}{e^{9}}$ है.

$\frac{21}{e^{9}}$

चरण 6.3

अंतराल $(\frac{2}{3}, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (3)$ धनात्मक है.

$(\frac{2}{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, \frac{2}{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(\frac{2}{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8