कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - x$ और $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.7

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.9

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.10

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.12

$2 x + 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.1

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ का प्रसार करें.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.3

$- 1$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.4

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.2.6.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.7

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.8

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.9

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.10

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.3

$- x^{2}$ और $6 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.4

$- 3 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.5

$- - x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.5.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.1.7

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.7.2

$- 3 x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.2

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.2.2

$5 x^{2} - 11 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.3

$5 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.4

$- 11 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1

$4 x^{2} - 8 x + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1.1

$4 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.2

$- 8 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.3

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.4

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.5

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

चरण 1.1.1.3.3.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.4.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 3 x - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $3$ है.

$- 1, 4$

चरण 1.1.1.3.4.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4.2

उत्पाद नियम को $(x - 1) (x + 4)$ पर लागू करें.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5

${(x - 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ को ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 1.1.2.1.2.2

घातांक को ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 1.1.2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

चरण 1.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 4$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 1.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 1.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 4$ से बदलें.

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 1.1.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 1.1.2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 1.1.2.3.3

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 1.1.2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 1.1.2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 1.1.2.3.5.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

चरण 1.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.2.1

$- 8$ और $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ है.

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$8 = 0$

चरण 1.2.3

$8 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 3 x - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$- 1, 4$

चरण 2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

चरण 2.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 2.2.3

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.2.4

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 4$

चरण 2.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 1, - 4}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 1, - 4}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - 4)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 6$ से बदलें.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 6$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

चरण 4.2.1.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

चरण 4.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$8$ को $- 8$ से विभाजित करें.

$f'' (- 6) = 1$

चरण 4.2.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- 6) = 1$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - 4)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 6)$ धनात्मक है.

$(- \infty, - 4)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- 4, 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

चरण 5.2.1.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

चरण 5.2.2

$8$ और $64$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$64$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

चरण 5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

चरण 5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{8}$ है.

$- \frac{1}{8}$

चरण 5.3

अंतराल $(- 4, 1)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- 4, 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6

अंतराल $(1, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$4$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

चरण 6.2.1.2

$8$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

चरण 6.2.2

$8$ और $512$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$512$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

चरण 6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

चरण 6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{64}$ है.

$- \frac{1}{64}$

चरण 6.3

अंतराल $(1, \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (4)$ ऋणात्मक है.

$(1, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 4)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(- 4, 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(1, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 8