कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x \sqrt{x + 9}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$\sqrt{x + 9}$ को ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + 9$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 9$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 9$ से बदलें.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = x (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.11

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.12.2

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.1.13

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

चरण 1.1.1.14

${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.1.15

${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.16

${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.18

घातांक जोड़कर ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.18.1

${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.18.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.18.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.18.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.18.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.19

${(x + 9)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.20

$2$ को $x + 9$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 9)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.21.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 9}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.21.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.21.2.1

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.21.2.2

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{3 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.21.3

$3 x + 18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.21.3.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{3 (x) + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.21.3.2

$18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.21.3.3

$3 x + 3 \cdot 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{3}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 1.1.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 6$ और $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

घातांक को ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.1.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.1.2.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.4

सरल करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.5.2

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.5.4.2

${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x + 9$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.6.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x + 9$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.13

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.14

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 9}$

चरण 1.1.2.15

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.15.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 9}$

चरण 1.1.2.15.2

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$

चरण 1.1.2.15.3

$\frac{3}{2}$ को $\frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

चरण 1.1.2.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

चरण 1.1.2.16.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

चरण 1.1.2.16.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.1

$3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.1.1

$3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.1.2

$3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.1.3

$3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.2

मान लीजिए $u_{2} = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ . ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ की सभी घटनाओं के लिए $u_{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.2.2

घातांक जोड़कर $u_{2}$ को $u_{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.2.2.1

$u_{2}$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.2.2.2

$u_{2}$ को $u_{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.4.1.1

घातांक को ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.4.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.1.2

सरल करें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 9 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.1.4

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 18 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.2

$2 x$ में से $x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 18 - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.4.4.3

$18$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.5.1

$3$ और $\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

चरण 1.1.2.16.5.2

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$

चरण 1.1.2.16.5.3

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$ को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 18}$

चरण 1.1.2.16.5.4

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{2 x + 18}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18)}$

चरण 1.1.2.16.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.6.1

$2 x + 18$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.6.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 18)}$

चरण 1.1.2.16.6.1.2

$18$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 9)}$

चरण 1.1.2.16.6.1.3

$2 x + 2 \cdot 9$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 9))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 9))}$

चरण 1.1.2.16.6.2

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.16.6.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x + 9)}$

चरण 1.1.2.16.6.2.2

$x + 9$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 ((x + 9) {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 1.1.2.16.6.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.2.16.6.2.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.2.16.6.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

चरण 1.1.2.16.6.2.6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ है.

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$3 (x + 12) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$3 (x + 12) = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$3 (x + 12) = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 1.2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 1.2.3.1.2.1.2

$x + 12$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + 12 = \frac{0}{3}$

चरण 1.2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$x + 12 = 0$

चरण 1.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $12$ घटाएं.

$x = - 12$

चरण 1.2.4

उन हलों को छोड़ दें जो $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$कोई हल नहीं$

चरण 2

$f (x) = x \sqrt{x + 9}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

रेडिकैंड को $\sqrt{x + 9}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x + 9 \geq 0$

चरण 2.2

असमानता के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$x \geq - 9$

चरण 2.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 9, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq - 9}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 9, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq - 9}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$[- 9, \infty)$

चरण 4

अंतराल $[- 9, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 12)}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$3 ((0) + 12)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 ({((0) + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

चरण 4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 3)}{{((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.3

$0$ और $3$ जोड़ें.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$0$ और $9$ जोड़ें.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{9^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.4.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.4.3

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

चरण 4.2.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

चरण 4.2.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{3}}$

चरण 4.2.4.5

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{27}$

चरण 4.2.5

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (0) = \frac{9}{27}$

चरण 4.2.5.2

$9$ और $27$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.2.1

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{9 (1)}{27}$

चरण 4.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.2.2.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

चरण 4.2.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

चरण 4.2.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{1}{3}$

चरण 4.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{1}{3}$ है.

$\frac{1}{3}$

चरण 4.3

अंतराल $[- 9, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$[- 9, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 5