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कैलकुलस उदाहरण
,
चरण 1
यदि अंतराल पर निरंतर है और पर अवकलनीय है, तो अंतराल में कम से कम एक वास्तविक संख्या मौजूद है जैसे कि . माध्य मान प्रमेय पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं और के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.
अगर पर निरन्तर है
और यदि पर अवकलनीय है,
तो : में कम से कम एक बिंदु मौजूद है.
चरण 2
चरण 2.1
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन पर निरंतर है या नहीं, का डोमेन ज्ञात करें.
चरण 2.1.1
घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम लागू करें.
चरण 2.1.2
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
सेट-बिल्डर संकेतन:
मध्यवर्ती संकेतन:
सेट-बिल्डर संकेतन:
चरण 2.2
पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 3
चरण 3.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 3.1.1
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.1.2
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 3.1.3
और को मिलाएं.
चरण 3.1.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 3.1.5
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 3.1.5.1
को से गुणा करें.
चरण 3.1.5.2
में से घटाएं.
चरण 3.1.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 3.1.7
सरल करें.
चरण 3.1.7.1
ऋणात्मक घातांक नियम का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 3.1.7.2
को से गुणा करें.
चरण 3.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 4
चरण 4.1
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन पर निरंतर है या नहीं, का डोमेन ज्ञात करें.
चरण 4.1.1
भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.
चरण 4.1.1.1
घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम लागू करें.
चरण 4.1.1.2
किसी भी चीज़ को तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.
चरण 4.1.2
में भाजक को के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.
चरण 4.1.3
के लिए हल करें.
चरण 4.1.3.1
समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.
चरण 4.1.3.2
समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.
चरण 4.1.3.2.1
को के रूप में फिर से लिखने के लिए का उपयोग करें.
चरण 4.1.3.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.2.2.1
को सरल करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 4.1.3.2.2.1.3
घातांक को में गुणा करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.3.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, .
चरण 4.1.3.2.2.1.3.2
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.3.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.3.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 4.1.3.2.2.1.4
सरल करें.
चरण 4.1.3.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.2.3.1
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 4.1.3.3
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 4.1.3.3.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 4.1.3.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.3.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.3.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 4.1.3.3.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.3.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 4.1.4
डोमेन के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.
मध्यवर्ती संकेतन:
सेट-बिल्डर संकेतन:
मध्यवर्ती संकेतन:
सेट-बिल्डर संकेतन:
चरण 4.2
, पर निरंतर नहीं है क्योंकि के डोमेन में नहीं है.
फलन निरंतर नहीं है.
फलन निरंतर नहीं है.
चरण 5
फलन पर अलग-अलग नहीं है क्योंकि व्युत्पन्न पर निरंतर नहीं है.
फलन भिन्न नहीं है.
चरण 6