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कैलकुलस उदाहरण
f(x)=x13f(x)=x13 , [-1,1][−1,1]
चरण 1
यदि ff अंतराल [a,b][a,b] पर निरंतर है और (a,b)(a,b) पर अवकलनीय है, तो अंतराल (a,b)(a,b) में कम से कम एक वास्तविक संख्या cc मौजूद है जैसे कि f′(c)=f(b)-fab-a. माध्य मान प्रमेय x=c पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं (a,f(a)) और (b,f(b)) के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.
अगर f(x) [a,b] पर निरन्तर है
और यदि f(x) (a,b) पर अवकलनीय है,
तो [a,b]: f′(c)=f(b)-fab-a में कम से कम एक बिंदु c मौजूद है.
चरण 2
चरण 2.1
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन [-1,1] पर निरंतर है या नहीं, f(x)=x13 का डोमेन ज्ञात करें.
चरण 2.1.1
भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.
चरण 2.1.1.1
घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम xmn=n√xm लागू करें.
3√x1
चरण 2.1.1.2
किसी भी चीज़ को 1 तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.
3√x
3√x
चरण 2.1.2
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 2.2
f(x) [-1,1] पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 3
चरण 3.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 3.1.1
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=13 है.
13x13-1
चरण 3.1.2
-1 को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, 33 से गुणा करें.
13x13-1⋅33
चरण 3.1.3
-1 और 33 को मिलाएं.
13x13+-1⋅33
चरण 3.1.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
13x1-1⋅33
चरण 3.1.5
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 3.1.5.1
-1 को 3 से गुणा करें.
13x1-33
चरण 3.1.5.2
1 में से 3 घटाएं.
13x-23
13x-23
चरण 3.1.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
13x-23
चरण 3.1.7
सरल करें.
चरण 3.1.7.1
ऋणात्मक घातांक नियम b-n=1bn का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
13⋅1x23
चरण 3.1.7.2
13 को 1x23 से गुणा करें.
f′(x)=13x23
f′(x)=13x23
f′(x)=13x23
चरण 3.2
f(x) का पहला व्युत्पन्न बटे x, 13x23 है.
13x23
13x23
चरण 4
चरण 4.1
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन (-1,1) पर निरंतर है या नहीं, f′(x)=13x23 का डोमेन ज्ञात करें.
चरण 4.1.1
घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम xmn=n√xm लागू करें.
133√x2
चरण 4.1.2
133√x2 में भाजक को 0 के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.
33√x2=0
चरण 4.1.3
x के लिए हल करें.
चरण 4.1.3.1
समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.
(33√x2)3=03
चरण 4.1.3.2
समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.
चरण 4.1.3.2.1
3√x2 को x23 के रूप में फिर से लिखने के लिए n√ax=axn का उपयोग करें.
(3x23)3=03
चरण 4.1.3.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.2.2.1
(3x23)3 को सरल करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.1
उत्पाद नियम को 3x23 पर लागू करें.
33(x23)3=03
चरण 4.1.3.2.2.1.2
3 को 3 के घात तक बढ़ाएं.
27(x23)3=03
चरण 4.1.3.2.2.1.3
घातांक को (x23)3 में गुणा करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.3.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, (am)n=amn.
27x23⋅3=03
चरण 4.1.3.2.2.1.3.2
3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.2.2.1.3.2.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
27x23⋅3=03
चरण 4.1.3.2.2.1.3.2.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
27x2=03
27x2=03
27x2=03
27x2=03
27x2=03
चरण 4.1.3.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.2.3.1
0 को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से 0 प्राप्त होता है.
27x2=0
27x2=0
27x2=0
चरण 4.1.3.3
x के लिए हल करें.
चरण 4.1.3.3.1
27x2=0 के प्रत्येक पद को 27 से भाग दें और सरल करें.
चरण 4.1.3.3.1.1
27x2=0 के प्रत्येक पद को 27 से विभाजित करें.
27x227=027
चरण 4.1.3.3.1.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.3.1.2.1
27 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.1.3.3.1.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
27x227=027
चरण 4.1.3.3.1.2.1.2
x2 को 1 से विभाजित करें.
x2=027
x2=027
x2=027
चरण 4.1.3.3.1.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.1.3.3.1.3.1
0 को 27 से विभाजित करें.
x2=0
x2=0
x2=0
चरण 4.1.3.3.2
बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I
x=±√0
चरण 4.1.3.3.3
±√0 को सरल करें.
चरण 4.1.3.3.3.1
0 को 02 के रूप में फिर से लिखें.
x=±√02
चरण 4.1.3.3.3.2
धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.
x=±0
चरण 4.1.3.3.3.3
जोड़ या घटाव 0, 0 है.
x=0
x=0
x=0
x=0
चरण 4.1.4
डोमेन x के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,0)∪(0,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x≠0}
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,0)∪(0,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x≠0}
चरण 4.2
f′(x), (-1,1) पर निरंतर नहीं है क्योंकि 0 f′(x)=13x23 के डोमेन में नहीं है.
फलन निरंतर नहीं है.
फलन निरंतर नहीं है.
चरण 5
फलन (-1,1) पर अलग-अलग नहीं है क्योंकि व्युत्पन्न 13x23 (-1,1) पर निरंतर नहीं है.
फलन भिन्न नहीं है.
चरण 6
