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कैलकुलस उदाहरण
f(x)=e-2xf(x)=e−2x , [0,2][0,2]
चरण 1
यदि ff अंतराल [a,b][a,b] पर निरंतर है और (a,b)(a,b) पर अवकलनीय है, तो अंतराल (a,b)(a,b) में कम से कम एक वास्तविक संख्या cc मौजूद है जैसे कि f′(c)=f(b)-fab-af'(c)=f(b)−fab−a. माध्य मान प्रमेय x=cx=c पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं (a,f(a))(a,f(a)) और (b,f(b))(b,f(b)) के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.
अगर f(x)f(x) [a,b][a,b] पर निरन्तर है
और यदि f(x)f(x) (a,b)(a,b) पर अवकलनीय है,
तो [a,b][a,b]: f′(c)=f(b)-fab-af'(c)=f(b)−fab−a में कम से कम एक बिंदु cc मौजूद है.
चरण 2
चरण 2.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)(−∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 2.2
f(x) [0,2] पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 3
चरण 3.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 3.1.1
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[f(g(x))] f′(g(x))g′(x) है, जहाँ f(x)=ex और g(x)=-2x है.
चरण 3.1.1.1
चेन रूल लागू करने के लिए, u को -2x के रूप में सेट करें.
ddu[eu]ddx[-2x]
चरण 3.1.1.2
चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddu[au] auln(a) है, जहाँ a=e है.
euddx[-2x]
चरण 3.1.1.3
u की सभी घटनाओं को -2x से बदलें.
e-2xddx[-2x]
e-2xddx[-2x]
चरण 3.1.2
अवकलन करें.
चरण 3.1.2.1
चूंकि -2, x के संबंध में स्थिर है, x के संबंध में -2x का व्युत्पन्न -2ddx[x] है.
e-2x(-2ddx[x])
चरण 3.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ddx[xn] nxn-1 है, जहाँ n=1 है.
e-2x(-2⋅1)
चरण 3.1.2.3
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 3.1.2.3.1
-2 को 1 से गुणा करें.
e-2x⋅-2
चरण 3.1.2.3.2
-2 को e-2x के बाईं ओर ले जाएं.
f′(x)=-2e-2x
f′(x)=-2e-2x
f′(x)=-2e-2x
f′(x)=-2e-2x
चरण 3.2
f(x) का पहला व्युत्पन्न बटे x, -2e-2x है.
-2e-2x
-2e-2x
चरण 4
चरण 4.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
मध्यवर्ती संकेतन:
(-∞,∞)
सेट-बिल्डर संकेतन:
{x|x∈ℝ}
चरण 4.2
f′(x) (0,2) पर निरंतर है.
फलन निरंतर है.
फलन निरंतर है.
चरण 5
फलन (0,2) पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न (0,2) पर निरंतर है.
फलन अवकलनीय है.
चरण 6
f(x) माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह [0,2] पर निरंतर है और (0,2) पर अवकलनीय है.
f(x), [0,2] पर निरंतर है और (0,2) पर अवकलनीय है.
चरण 7
चरण 7.1
व्यंजक में चर x को 0 से बदलें.
f(0)=e-2⋅0
चरण 7.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 7.2.1
-2 को 0 से गुणा करें.
f(0)=e0
चरण 7.2.2
0 तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ 1 होती है.
f(0)=1
चरण 7.2.3
अंतिम उत्तर 1 है.
1
1
1
चरण 8
चरण 8.1
व्यंजक में चर x को 2 से बदलें.
f(2)=e-2⋅2
चरण 8.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 8.2.1
-2 को 2 से गुणा करें.
f(2)=e-4
चरण 8.2.2
ऋणात्मक घातांक नियम b-n=1bn का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
f(2)=1e4
चरण 8.2.3
अंतिम उत्तर 1e4 है.
1e4
1e4
1e4
चरण 9
चरण 9.1
(1e4)-(1)(2)-(0) को सरल करें.
चरण 9.1.1
भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को e4 से गुणा करें.
चरण 9.1.1.1
1e4-(1)2-(0) को e4e4 से गुणा करें.
-2e-2x=e4e4⋅1e4-(1)2-(0)
चरण 9.1.1.2
जोड़ना.
-2e-2x=e4(1e4-(1))e4(2-(0))
-2e-2x=e4(1e4-(1))e4(2-(0))
चरण 9.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
-2e-2x=e41e4+e4(-(1))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.3
e4 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.1.3.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-2e-2x=e41e4+e4(-(1))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.3.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
-2e-2x=1+e4(-(1))e4⋅2+e4(-(0))
-2e-2x=1+e4(-(1))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 9.1.4.1
1 को 12 के रूप में फिर से लिखें.
-2e-2x=12+e4(-(1))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.2
e4⋅(1) को (e2⋅1)2 के रूप में फिर से लिखें.
-2e-2x=12-(e2⋅1)2e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.3
चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र a2-b2=(a+b)(a-b) के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां a=1 और b=e2⋅1.
-2e-2x=(1+e2⋅1)(1-(e2⋅1))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.4
सरल करें.
चरण 9.1.4.4.1
e2 को 1 से गुणा करें.
-2e-2x=(1+e2)(1-(e2⋅1))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.4.2
1 को 12 के रूप में फिर से लिखें.
-2e-2x=(1+e2)(12-e2⋅1)e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.4.3
e2⋅1 को (e⋅1)2 के रूप में फिर से लिखें.
-2e-2x=(1+e2)(12-(e⋅1)2)e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.4.4
चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र a2-b2=(a+b)(a-b) के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां a=1 और b=e⋅1.
-2e-2x=(1+e2)((1+e⋅1)(1-(e⋅1)))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.4.5
सरल करें.
चरण 9.1.4.4.5.1
e को 1 से गुणा करें.
-2e-2x=(1+e2)((1+e)(1-(e⋅1)))e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.4.4.5.2
e को 1 से गुणा करें.
-2e-2x=(1+e2)((1+e)(1-e))e4⋅2+e4(-(0))
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4⋅2+e4(-(0))
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4⋅2+e4(-(0))
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4⋅2+e4(-(0))
चरण 9.1.5
भाजक को सरल करें.
चरण 9.1.5.1
e4⋅2+e4(-(0)) में से e4 का गुणनखंड करें.
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4(2-(0))
चरण 9.1.5.2
-1 को 0 से गुणा करें.
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4(2+0)
चरण 9.1.5.3
2 और 0 जोड़ें.
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4⋅2
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)e4⋅2
चरण 9.1.6
2 को e4 के बाईं ओर ले जाएं.
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4
चरण 9.2
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4 के प्रत्येक पद को -2 से भाग दें और सरल करें.
चरण 9.2.1
-2e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4 के प्रत्येक पद को -2 से विभाजित करें.
-2e-2x-2=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4-2
चरण 9.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.2.2.1
-2 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-2e-2x-2=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4-2
चरण 9.2.2.1.2
e-2x को 1 से विभाजित करें.
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4-2
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4-2
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4-2
चरण 9.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.2.3.1
भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4⋅1-2
चरण 9.2.3.2
जोड़ना.
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)⋅12e4⋅-2
चरण 9.2.3.3
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 9.2.3.3.1
1+e2 को 1 से गुणा करें.
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)2e4⋅-2
चरण 9.2.3.3.2
-2 को 2 से गुणा करें.
e-2x=(1+e2)(1+e)(1-e)-4e4
चरण 9.2.3.3.3
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
e-2x=-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4
e-2x=-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4
e-2x=-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4
e-2x=-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4
चरण 9.3
घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.
ln(e-2x)=ln(-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4)
चरण 9.4
समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि ln(-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4) अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 9.5
e-2x=-(1+e2)(1+e)(1-e)4e4 का कोई हल नहीं है
कोई हल नहीं
कोई हल नहीं
चरण 10
There are no solution, so there is no x value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points a=0 and b=2.
No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points a=0 and b=2
चरण 11