कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = e^{- 2 x}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[0, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

चरण 3.1.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

चरण 3.1.2.3.2

$- 2$ को $e^{- 2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 e^{- 2 x}$ है.

$- 2 e^{- 2 x}$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(0, 2)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(0, 2)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(0, 2)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(0, 2)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[0, 2]$ पर निरंतर है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[0, 2]$ पर निरंतर है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[0, 2]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = e^{0}$

चरण 7.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f (0) = 1$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 8

अंतराल $[0, 2]$ से $f (b)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = e^{- 4}$

चरण 8.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{1}{e^{4}}$ है.

$\frac{1}{e^{4}}$

चरण 9

$x$ के लिए $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को $e^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ को $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ से गुणा करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

चरण 9.1.1.2

जोड़ना.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

चरण 9.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.3

$e^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.2

$e^{4} \cdot (1)$ को ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.4.1

$e^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.4.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.4.3

$e^{2} \cdot 1$ को ${(e \cdot 1)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.4.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.4.5.1

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.4.4.5.2

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

चरण 9.1.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.1

$e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ में से $e^{4}$ का गुणनखंड करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

चरण 9.1.5.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

चरण 9.1.5.3

$2$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

चरण 9.1.6

$2$ को $e^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

चरण 9.2

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

चरण 9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

चरण 9.2.2.1.2

$e^{- 2 x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

चरण 9.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

चरण 9.2.3.2

जोड़ना.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

चरण 9.2.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.3.1

$1 + e^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

चरण 9.2.3.3.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

चरण 9.2.3.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

चरण 9.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

चरण 9.4

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 9.5

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

चरण 11