कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[- 2, 2]$ पर निरंतर है या नहीं, $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + 6 = 0$

चरण 2.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$x^{2} = - 6$

चरण 2.1.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- 6}$

चरण 2.1.2.3

$\pm \sqrt{- 6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

$- 6$ को $- 1 (6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

चरण 2.1.2.3.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

चरण 2.1.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \sqrt{6}$

चरण 2.1.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i \sqrt{6}$

चरण 2.1.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i \sqrt{6}$

चरण 2.1.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

चरण 2.1.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[- 2, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 6$ है.

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2.2

$2$ को $x^{2} + 6$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2.4

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.3.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.3.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3.1.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3.2

$2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.1.6.3.2.2

$12 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ है.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(- 2, 2)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $(- 2, 2)$ पर निरंतर है या नहीं, $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

चरण 4.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$x^{2} + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 6 = 0$

चरण 4.1.2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$x^{2} = - 6$

चरण 4.1.2.2.2

$x = \pm \sqrt{- 6}$

चरण 4.1.2.2.3

$\pm \sqrt{- 6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.3.1

$- 6$ को $- 1 (6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

चरण 4.1.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

चरण 4.1.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \sqrt{6}$

चरण 4.1.2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i \sqrt{6}$

चरण 4.1.2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i \sqrt{6}$

चरण 4.1.2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

चरण 4.1.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(- 2, 2)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(- 2, 2)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(- 2, 2)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[- 2, 2]$ पर निरंतर है और $(- 2, 2)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[- 2, 2]$ पर निरंतर है और $(- 2, 2)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[- 2, 2]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

चरण 7.2.2.2

$4$ और $6$ जोड़ें.

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

चरण 7.2.3

$4$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

चरण 7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

चरण 7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

चरण 7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{2}{5}$ है.

$\frac{2}{5}$

चरण 8

$x$ के लिए $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$- 1$ को $\frac{2}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

चरण 8.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

चरण 8.1.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

चरण 8.1.4

$0$ को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

चरण 8.1.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

चरण 8.1.6

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

चरण 8.1.7

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

चरण 8.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

चरण 8.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

चरण 8.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ के प्रत्येक पद को ${(x^{2} + 6)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ के प्रत्येक पद को ${(x^{2} + 6)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

चरण 8.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

${(x^{2} + 6)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

चरण 8.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

चरण 8.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$0$ को ${(x^{2} + 6)}^{2}$ से गुणा करें.

$12 x = 0$

चरण 8.4

$12 x = 0$ के प्रत्येक पद को $12$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

$12 x = 0$ के प्रत्येक पद को $12$ से विभाजित करें.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

चरण 8.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

चरण 8.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{12}$

चरण 8.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.3.1

$0$ को $12$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 9

अंत बिंदुओं $a = - 2$ और $b = 2$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = 0$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = - 2$ और $b = 2$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = 0$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 10