कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[1, 1]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{3} - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.2.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

चरण 3.1.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $9 x^{2} - 2$ है.

$9 x^{2} - 2$

चरण 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $कोई हल नहीं$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $कोई हल नहीं$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $कोई हल नहीं$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[1, 1]$ पर निरंतर है और $कोई हल नहीं$ पर अवकलनीय है.

कोई हल नहीं

चरण 7

अंतराल $[1, 1]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

चरण 7.2.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

चरण 7.2.1.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 3 - 2$

चरण 7.2.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f (1) = 1$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 8

समीकरण में एक अपरिभाषित भिन्न है.

अपरिभाषित

चरण 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

चरण 10