कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ है.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

घातांक को ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 1.1.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.3

$2$ को ${(x - 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.4.5.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.1

${(x - 1)}^{2}$ को $(x - 1) (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.3.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.3.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.3.1.4

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.3.2

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.5.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.7.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.7.1.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.7.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.7.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.7.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.7.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.7.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.7.2.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.7.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.8

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.8.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.8.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1.8.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.8.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.1.9

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.2

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.2.2

$- 4 x^{2} + 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.2.3

$- 4 x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.3

$- 2 x^{2} + 2 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.3.1

$- 2 x^{2}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.3.2

$2 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.3.3

$2 x (- x) + 2 x (1)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.4

$- x + 1$ और ${(x - 1)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.4.2

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.4.3

$- (x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.4.4

$- (x - 1)$ को $- 1 (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.4.5

$2 x (- 1 (x - 1))$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.1.5.4.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.6.1

${(x - 1)}^{4}$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.1.5.4.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.1.5.4.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.1.5.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.1.5.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

घातांक को ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

चरण 1.2.3.1.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.3.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.3.3

${(x - 1)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.5.2

${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ में से ${(x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

${(x - 1)}^{3}$ में से ${(x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.5.2.2

$- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ में से ${(x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.5.2.3

${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ में से ${(x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

${(x - 1)}^{6}$ में से ${(x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.8

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.10

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.10.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.10.3

$x$ में से $3 x$ घटाएं.

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.10.4

$- 2$ और $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.10.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.2.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.3

$- 4 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.3.1

$- 4 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.3.3

$2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.4

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.5

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.6

$- (2 x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.7

$- (2 x + 1)$ को $- 1 (2 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.2.11.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

चरण 1.2.11.10

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ है.

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 (2 x + 1) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 (2 x + 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$2 (2 x + 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 2.3.1.2.1.2

$2 x + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

चरण 2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$2 x + 1 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 x = - 1$

चरण 2.3.3

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{2}$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- \frac{1}{2}$ को $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{2}$ से बदलें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2.1.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2.1.6

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.2

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.4.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.4.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.6

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 3.1.2.2.8

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

चरण 3.1.2.2.9

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

चरण 3.1.2.2.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

चरण 3.1.2.2.11

$\frac{9}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

चरण 3.1.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

चरण 3.1.2.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

चरण 3.1.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

चरण 3.1.2.5

अंतिम उत्तर $\frac{1}{9}$ है.

$\frac{1}{9}$

चरण 3.2

$- \frac{1}{2}$ को $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - \frac{1}{2})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.6$ से बदलें.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ को $- 0.6$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

चरण 5.2.1.2

$- 1.2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 0.6$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

चरण 5.2.2.2

$- 1.6$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

चरण 5.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2$ को $- 0.2$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

चरण 5.2.3.2

$- 0.4$ को $6.5536$ से विभाजित करें.

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.06103515$ है.

$- 0.06103515$

चरण 5.3

$- 0.6$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.06103515$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, - \frac{1}{2})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, - \frac{1}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \frac{1}{2}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.4$ से बदलें.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $- 0.4$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

चरण 6.2.1.2

$- 0.8$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 0.4$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

चरण 6.2.2.2

$- 1.4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

चरण 6.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2$ को $0.2$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

चरण 6.2.3.2

$0.4$ को $3.8416$ से विभाजित करें.

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $0.10412328$ है.

$0.10412328$

चरण 6.3

$- 0.4$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.10412328$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \frac{1}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \frac{1}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ है.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

चरण 8