कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

${(x - 5)}^{2}$ को $(x - 5) (x - 5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

चरण 1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 5) (x - 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

चरण 1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

चरण 1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

चरण 1.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

चरण 1.1.3.1.2

$- 5$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

चरण 1.1.3.1.3

$- 5$ को $- 5$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

चरण 1.1.3.2

$- 5 x$ में से $5 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

चरण 1.1.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ और $g (x) = x - 2$ है.

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

चरण 1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

चरण 1.1.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

चरण 1.1.5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

चरण 1.1.5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

चरण 1.1.5.4.2

$x^{2} - 10 x + 25$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

चरण 1.1.5.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 10 x + 25$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ है.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

चरण 1.1.5.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

चरण 1.1.5.7

चूंकि $- 10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 10 x$ का व्युत्पन्न $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

चरण 1.1.5.8

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

चरण 1.1.5.9

$- 10$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

चरण 1.1.5.10

चूंकि $x$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

चरण 1.1.5.11

$2 x - 10$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

चरण 1.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

चरण 1.1.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4.5

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4.6

$- 10$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

चरण 1.1.6.4.7

$- 2$ को $- 10$ से गुणा करें.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

चरण 1.1.6.4.8

$- 4 x$ में से $10 x$ घटाएं.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

चरण 1.1.6.4.9

$x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

चरण 1.1.6.4.10

$- 10 x$ में से $14 x$ घटाएं.

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

चरण 1.1.6.4.11

$25$ और $20$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 24 x + 45$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.2.2

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.2.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 24 x$ का व्युत्पन्न $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.3.2

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.3.3

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

चरण 1.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $45$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $45$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 x - 24 + 0$

चरण 1.2.4.2

$6 x - 24$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 6 x - 24$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x - 24$ है.

$6 x - 24$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x - 24 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x - 24 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $24$ जोड़ें.

$6 x = 24$

चरण 2.3

$6 x = 24$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$6 x = 24$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{24}{6}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$24$ को $6$ से विभाजित करें.

$x = 4$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $4$ को $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$4$ में से $5$ घटाएं.

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

चरण 3.1.2.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

चरण 3.1.2.3

$(4) - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (4) = (4) - 2$

चरण 3.1.2.4

$4$ में से $2$ घटाएं.

$f (4) = 2$

चरण 3.1.2.5

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 3.2

$4$ को $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(4, 2)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(4, 2)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 4)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.9$ से बदलें.

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$6$ को $3.9$ से गुणा करें.

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

चरण 5.2.2

$23.4$ में से $24$ घटाएं.

$f'' (3.9) = - 0.6$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.6$ है.

$- 0.6$

चरण 5.3

$3.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.6$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 4)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 4)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.1$ से बदलें.

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$6$ को $4.1$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

चरण 6.2.2

$24.6$ में से $24$ घटाएं.

$f'' (4.1) = 0.6$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $0.6$ है.

$0.6$

चरण 6.3

$4.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.6$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(4, 2)$ है.

$(4, 2)$

चरण 8