कैलकुलस उदाहरण

$x e^{x}$

चरण 1

$x e^{x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x e^{x}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

चरण 2.1.3.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{x} + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2.2.2

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2.2.3

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2.2.4

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2.3

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 2.2.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} x + 2 e^{x}$

चरण 2.2.4.3

गुणनखंडों को $e^{x} x + 2 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $x e^{x} + 2 e^{x}$ है.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

चरण 3.2

$x e^{x} + 2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

चरण 3.2.2

$2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

चरण 3.2.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (x + 2) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 3.4

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 3.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 3.5

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 2$ को $f (x) = x e^{x}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

चरण 4.1.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

चरण 4.1.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

चरण 4.1.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{2}{e^{2}}$ है.

$- \frac{2}{e^{2}}$

चरण 4.2

$- 2$ को $f (x) = x e^{x}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.1$ से बदलें.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.2

$- 2.1$ और $\frac{1}{e^{2.1}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.4

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.5

$2.71828182$ को $2.1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.6

$2.1$ को $8.16616991$ से विभाजित करें.

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.7

$- 1$ को $0.25715849$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

चरण 6.2.1.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

चरण 6.2.1.9

$2$ और $\frac{1}{e^{2.1}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

चरण 6.2.2

$- 0.25715849$ और $\frac{2}{e^{2.1}}$ जोड़ें.

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.01224564$ है.

$- 0.01224564$

चरण 6.3

$- 2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.01224564$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, - 2)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, - 2)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 2, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.9$ से बदलें.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.2

$- 1.9$ और $\frac{1}{e^{1.9}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.4

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.5

$2.71828182$ को $1.9$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.6

$1.9$ को $6.68589444$ से विभाजित करें.

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.7

$- 1$ को $0.28418037$ से गुणा करें.

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

चरण 7.2.1.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

चरण 7.2.1.9

$2$ और $\frac{1}{e^{1.9}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

चरण 7.2.2

$- 0.28418037$ और $\frac{2}{e^{1.9}}$ जोड़ें.

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $0.01495686$ है.

$0.01495686$

चरण 7.3

$- 1.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.01495686$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- 2, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- 2, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ है.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

चरण 9