कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} - 4 x^{2}$

चरण 1

$x^{4} - 4 x^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 2.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

चरण 2.1.2.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 8 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 2.2.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 x^{2} - 8 \cdot 1$

चरण 2.2.3.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 8$ है.

$12 x^{2} - 8$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 8 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 8 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$12 x^{2} = 8$

चरण 3.3

$12 x^{2} = 8$ के प्रत्येक पद को $12$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$12 x^{2} = 8$ के प्रत्येक पद को $12$ से विभाजित करें.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{8}{12}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{8}{12}$

चरण 3.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{8}{12}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$8$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{4 (2)}{12}$

चरण 3.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3}$

चरण 3.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3}$

चरण 3.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = \frac{2}{3}$

चरण 3.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

चरण 3.5

$\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.5.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.5.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.5.3.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.5.3.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.5.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.5.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.5.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.5.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

चरण 3.5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

चरण 3.5.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 3.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 3.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 3.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{\sqrt{6}}{3}$ को $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{\sqrt{6}}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{4} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1

${\sqrt{6}}^{4}$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{2}}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.2

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{36}{3^{4}} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.3

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{36}{81} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.4

$36$ और $81$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.4.1

$36$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{9 (4)}{81} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.4.2.1

$81$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 9} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 9} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.5

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6

${\sqrt{6}}^{2}$ को $6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.6.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6}{3^{2}}$

चरण 4.1.2.1.7

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 (\frac{6}{9})$

चरण 4.1.2.1.8

$6$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.8.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{3 (2)}{9}$

चरण 4.1.2.1.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.8.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

चरण 4.1.2.1.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

चरण 4.1.2.1.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 (\frac{2}{3})$

चरण 4.1.2.1.9

$- 4 (\frac{2}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.9.1

$- 4$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

चरण 4.1.2.1.9.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{- 8}{3}$

चरण 4.1.2.1.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8}{3}$

चरण 4.1.2.2

$- \frac{8}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 4.1.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $9$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$\frac{8}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

चरण 4.1.2.3.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

चरण 4.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4 - 8 \cdot 3}{9}$

चरण 4.1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1

$- 8$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4 - 24}{9}$

चरण 4.1.2.5.2

$4$ में से $24$ घटाएं.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{- 20}{9}$

चरण 4.1.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{\sqrt{6}}{3}) = - \frac{20}{9}$

चरण 4.1.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{20}{9}$ है.

$- \frac{20}{9}$

चरण 4.2

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ को $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ को $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ से बदलें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{4} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{4} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.3

$\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{3^{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1

${\sqrt{6}}^{4}$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{6^{2}}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4.2

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{36}{3^{4}} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.5

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{36}{81} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.6

$36$ और $81$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.6.1

$36$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{9 (4)}{81} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.6.2.1

$81$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 9} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 9} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}$

चरण 4.3.2.1.7

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.7.1

उत्पाद नियम को $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2})$

चरण 4.3.2.1.7.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{6}}{3}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}))$

चरण 4.3.2.1.8

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 (1 (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}))$

चरण 4.3.2.1.9

$\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.10

${\sqrt{6}}^{2}$ को $6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.10.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.10.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.10.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.10.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.10.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.10.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{6}{3^{2}}$

चरण 4.3.2.1.11

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 (\frac{6}{9})$

चरण 4.3.2.1.12

$6$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.12.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{3 (2)}{9}$

चरण 4.3.2.1.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.12.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

चरण 4.3.2.1.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

चरण 4.3.2.1.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - 4 (\frac{2}{3})$

चरण 4.3.2.1.13

$- 4 (\frac{2}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.13.1

$- 4$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

चरण 4.3.2.1.13.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{- 8}{3}$

चरण 4.3.2.1.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8}{3}$

चरण 4.3.2.2

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 4.3.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$\frac{8}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

चरण 4.3.2.3.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

चरण 4.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4 - 8 \cdot 3}{9}$

चरण 4.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.5.1

$- 8$ को $3$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4 - 24}{9}$

चरण 4.3.2.5.2

$4$ में से $24$ घटाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{- 20}{9}$

चरण 4.3.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{3}) = - \frac{20}{9}$

चरण 4.3.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{20}{9}$ है.

$- \frac{20}{9}$

चरण 4.4

$- \frac{\sqrt{6}}{3}$ को $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(\frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9}), (- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.91649658$ से बदलें.

$f'' (- 0.91649658) = 12 {(- 0.91649658)}^{2} - 8$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.91649658$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.91649658) = 12 \cdot 0.83996598 - 8$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $0.83996598$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.91649658) = 10.07959179 - 8$

चरण 6.2.2

$10.07959179$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (- 0.91649658) = 2.07959179$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $2.07959179$ है.

$2.07959179$

चरण 6.3

$- 0.91649658$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $2.07959179$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 8$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 8$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 8$

चरण 7.2.2

$0$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (0) = - 8$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 8$ है.

$- 8$

चरण 7.3

$0$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 8$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.91649658$ से बदलें.

$f'' (0.91649658) = 12 {(0.91649658)}^{2} - 8$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$0.91649658$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.91649658) = 12 \cdot 0.83996598 - 8$

चरण 8.2.1.2

$12$ को $0.83996598$ से गुणा करें.

$f'' (0.91649658) = 10.07959179 - 8$

चरण 8.2.2

$10.07959179$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (0.91649658) = 2.07959179$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $2.07959179$ है.

$2.07959179$

चरण 8.3

$0.91649658$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $2.07959179$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9}), (\frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$ हैं.

$(- \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9}), (\frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{20}{9})$

चरण 10