कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

चरण 1

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 + x$ और $g (x) = 3 - x$ है.

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.5

$3 - x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.9

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.10.2

$2 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.11

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.12

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.12.1

$2 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.12.2

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.12.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.12.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.12.4.1

$0$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

चरण 2.1.2.12.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ है.

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$5 = 0$

चरण 3.3

$5 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 4

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- x + 3$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

चरण 5.2.1.1.2

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

चरण 5.2.1.1.3

$- (x) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

चरण 5.2.1.2

उत्पाद नियम को $- (x - 3)$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

चरण 5.2.2

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को ${(- 1)}^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को ${(- 1)}^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2.1.2

${(x - 3)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

चरण 5.2.2.3.2

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x - 3)}^{2} = 0$

चरण 5.2.3

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 5.2.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 6

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ है.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

चरण 7.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

चरण 7.2.2

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (2) = 5$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $5$ है.

$5$

चरण 7.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $5$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 3)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$- 4$ और $3$ जोड़ें.

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 8.2.1.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = \frac{5}{1}$

चरण 8.2.2

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (4) = 5$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $5$ है.

$5$

चरण 8.3

$x = 4$ पर व्युत्पन्न $5$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(3, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(3, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

चरण 10