कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

चरण 1

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.2.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.3.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

चरण 2.1.4.2

$3 x^{2} - 6 x + 6$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x^{2} - 6 x + 6$ है.

$3 x^{2} - 6 x + 6$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

चरण 3.2

$3 x^{2} - 6 x + 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

चरण 3.2.2

$- 6 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

चरण 3.2.3

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

चरण 3.2.4

$3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

चरण 3.2.5

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

चरण 3.3

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 3.3.2.1.2

$x^{2} - 2 x + 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

चरण 3.4

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.5

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = 2$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.2.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.3

$4$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.4

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

चरण 3.6.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm i$

चरण 3.7

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.2.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.3

$4$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.4

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

चरण 3.7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

चरण 3.7.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm i$

चरण 3.7.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 1 + i$

चरण 3.8

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.2.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.3

$4$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.4

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

चरण 3.8.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

चरण 3.8.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm i$

चरण 3.8.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 1 - i$

चरण 3.9

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 1 + i, 1 - i$

चरण 4

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 5

कोई भी संख्या व्युत्पन्न $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित नहीं बनाता है. $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ बढ़ रहा है या घट रहा है, यह जांचने के लिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ है.

$(- \infty, \infty)$

चरण 6

परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है या नहीं, यह जांचने के लिए व्युत्पन्न $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ में अंतराल $(- \infty, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $1$ प्रतिस्थापित करें. यदि परिणाम ऋणात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ घट रहा है. यदि परिणाम धनात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

चरण 6.2.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

चरण 6.2.1.3

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$3$ में से $6$ घटाएं.

$f' (1) = - 3 + 6$

चरण 6.2.2.2

$- 3$ और $6$ जोड़ें.

$f' (1) = 3$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $3$ है.

$3$

चरण 7

$1$ को $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ में बदलने का परिणाम $3$ है, जो धनात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

$3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$ के बाद से $(- \infty, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

अंतराल $(- \infty, \infty)$ के ऊपर बढ़ने का अर्थ है कि फलन हमेशा बढ़ रहा है.

हमेशा बढ़ता हुआ

चरण 9