कैलकुलस उदाहरण

$y = 8 x^{2} - x^{4}$

चरण 1

$y = 8 x^{2} - x^{4}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 8 x^{2} - x^{4}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{2} - x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{2}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

चरण 2.1.2.3

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$f' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = 16 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 16 x - (4 x^{3})$

चरण 2.1.3.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 16 x - 4 x^{3}$

चरण 2.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 x$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 4 x^{3} + 16 x$ है.

$- 4 x^{3} + 16 x$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 4 x^{3} + 16 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 4 x^{3} + 16 x = 0$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 4 x^{3} + 16 x$ में से $- 4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$- 4 x^{3}$ में से $- 4 x$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x = 0$

चरण 3.2.1.2

$16 x$ में से $- 4 x$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 = 0$

चरण 3.2.1.3

$- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ में से $- 4 x$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x (x^{2} - 4) = 0$

चरण 3.2.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

चरण 3.2.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 3.2.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

चरण 3.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.5

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 3.6

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 2, 2$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, - 2, 2$ हैं.

$0, - 2, 2$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = - 4 {(- 3)}^{3} + 16 (- 3)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - 4 \cdot - 27 + 16 (- 3)$

चरण 6.2.1.2

$- 4$ को $- 27$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = 108 + 16 (- 3)$

चरण 6.2.1.3

$16$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = 108 - 48$

चरण 6.2.2

$108$ में से $48$ घटाएं.

$f' (- 3) = 60$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $60$ है.

$60$

चरण 6.3

$x = - 3$ पर व्युत्पन्न $60$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 2)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 2, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1)$

चरण 7.2.1.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 4 + 16 (- 1)$

चरण 7.2.1.3

$16$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 4 - 16$

चरण 7.2.2

$4$ में से $16$ घटाएं.

$f' (- 1) = - 12$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 12$ है.

$- 12$

चरण 7.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- 12$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 2, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 2, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - 4 {(1)}^{3} + 16 (1)$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = - 4 \cdot 1 + 16 (1)$

चरण 8.2.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 4 + 16 (1)$

चरण 8.2.1.3

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 4 + 16$

चरण 8.2.2

$- 4$ और $16$ जोड़ें.

$f' (1) = 12$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $12$ है.

$12$

चरण 8.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $12$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, 2)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - 4 {(3)}^{3} + 16 (3)$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - 4 \cdot 27 + 16 (3)$

चरण 9.2.1.2

$- 4$ को $27$ से गुणा करें.

$f' (3) = - 108 + 16 (3)$

चरण 9.2.1.3

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (3) = - 108 + 48$

चरण 9.2.2

$- 108$ और $48$ जोड़ें.

$f' (3) = - 60$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $- 60$ है.

$- 60$

चरण 9.3

$x = 3$ पर व्युत्पन्न $- 60$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(2, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(2, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

इस पर घटता हुआ: $(- 2, 0), (2, \infty)$

चरण 11