कैलकुलस उदाहरण

$e^{- x^{2}}$

चरण 1

$e^{- x^{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

चरण 2.1.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

चरण 2.1.3.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x e^{- x^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x^{2}}$ है.

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.3.2

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.4.2

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.4.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.8.2

$- 2$ को $e^{- x^{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

चरण 2.2.10

$e^{- x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

चरण 2.2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

चरण 2.2.11.2

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

चरण 2.2.11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

चरण 2.2.11.4

गुणनखंडों को $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ है.

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

चरण 3.2

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ में से $2 e^{- x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4 x^{2} e^{- x^{2}}$ में से $2 e^{- x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

चरण 3.2.2

$- 2 e^{- x^{2}}$ में से $2 e^{- x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

चरण 3.2.3

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ में से $2 e^{- x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

चरण 3.4

$e^{- x^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$e^{- x^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- x^{2}} = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $e^{- x^{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

चरण 3.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 3.4.2.3

$e^{- x^{2}} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 3.5

$2 x^{2} - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 x^{2} - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x^{2} - 1 = 0$

चरण 3.5.2

$x$ के लिए $2 x^{2} - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x^{2} = 1$

चरण 3.5.2.2

$2 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$2 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.5.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

चरण 3.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

चरण 3.5.2.4.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 3.5.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 3.5.2.4.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 3.5.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 3.5.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 3.5.2.4.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 3.5.2.4.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 3.5.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.4.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.5.2.4.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.2.4.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.2.4.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 3.5.2.4.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 3.5.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 3.5.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 3.5.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को $f (x) = e^{- x^{2}}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

चरण 4.1.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

चरण 4.1.2.4

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

चरण 4.1.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 4.1.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 4.1.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 4.1.2.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.1.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ को $f (x) = e^{- x^{2}}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ को $f (x) = e^{- x^{2}}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ से बदलें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

चरण 4.3.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

चरण 4.3.2.2

घातांक जोड़कर $- 1$ को ${(- 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ ले जाएं.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

चरण 4.3.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ को $- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.2.1

$- 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

चरण 4.3.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

चरण 4.3.2.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

चरण 4.3.2.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.4.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.4.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

चरण 4.3.2.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

चरण 4.3.2.6

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.6.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

चरण 4.3.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.6.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 4.3.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 4.3.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 4.3.2.7

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.3.2.8

अंतिम उत्तर $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.4

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ को $f (x) = e^{- x^{2}}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.80710678$ से बदलें.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.80710678$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$4$ को $0.65142135$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.3

$- 0.80710678$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.4

$- 1$ को $0.65142135$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.6

$2.60568542$ और $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.7

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.8

$2.71828182$ को $0.65142135$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.9

$2.60568542$ को $1.91826543$ से विभाजित करें.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

चरण 6.2.1.10

$- 0.80710678$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

चरण 6.2.1.11

$- 1$ को $0.65142135$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

चरण 6.2.1.12

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

चरण 6.2.1.13

$- 2$ और $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

चरण 6.2.1.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

चरण 6.2.2

$1.35835499$ में से $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ घटाएं.

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $0.31574641$ है.

$0.31574641$

चरण 6.3

$- 0.80710678$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.31574641$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2.1.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2.1.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2.1.6

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

चरण 7.2.1.7

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

चरण 7.2.1.8

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

चरण 7.2.1.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

चरण 7.2.1.10

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 2$

चरण 7.2.2

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (0) = - 2$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 7.3

$0$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 2$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.80710678$ से बदलें.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$0.80710678$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$4$ को $0.65142135$ से गुणा करें.

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.3

$0.80710678$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.4

$- 1$ को $0.65142135$ से गुणा करें.

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.6

$2.60568542$ और $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ को मिलाएं.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.7

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8

$2.71828182$ को $0.65142135$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.9

$2.60568542$ को $1.91826543$ से विभाजित करें.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

चरण 8.2.1.10

$0.80710678$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

चरण 8.2.1.11

$- 1$ को $0.65142135$ से गुणा करें.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

चरण 8.2.1.12

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

चरण 8.2.1.13

$- 2$ और $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ को मिलाएं.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

चरण 8.2.1.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

चरण 8.2.2

$1.35835499$ में से $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ घटाएं.

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $0.31574641$ है.

$0.31574641$

चरण 8.3

$0.80710678$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.31574641$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ हैं.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 10