कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [13]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $28$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $28 x^{3}$ का व्युत्पन्न $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $28$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 28 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 28$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 28 x$ का व्युत्पन्न $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.4.3

$- 28$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 1.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $13$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $13$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 + 0$

चरण 1.1.5.2

$- 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $84$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $84 x^{2}$ का व्युत्पन्न $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $84$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} (- 28)$

चरण 1.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 28$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 28$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 168 x + 0$

चरण 1.2.4.2

$- 12 x^{2} + 168 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 168 x$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 12 x^{2} + 168 x$ है.

$- 12 x^{2} + 168 x$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 12 x^{2} + 168 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 12 x^{2} + 168 x = 0$

चरण 2.2

$- 12 x^{2} + 168 x$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 12 x^{2}$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x \cdot x + 168 x = 0$

चरण 2.2.2

$168 x$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 14 = 0$

चरण 2.2.3

$- 12 x (x) - 12 x (- 14)$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x (x - 14) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 14 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$x - 14$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 14$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 14 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $14$ जोड़ें.

$x = 14$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 12 x (x - 14) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 14$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 28 {(0)}^{3} - 28 \cdot 0 + 13$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = - 0 + 28 {(0)}^{3} - 28 \cdot 0 + 13$

चरण 3.1.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 28 {(0)}^{3} - 28 \cdot 0 + 13$

चरण 3.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 28 \cdot 0 - 28 \cdot 0 + 13$

चरण 3.1.2.1.4

$28$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 - 28 \cdot 0 + 13$

चरण 3.1.2.1.5

$- 28$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

चरण 3.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 0 + 13$

चरण 3.1.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 13$

चरण 3.1.2.2.3

$0$ और $13$ जोड़ें.

$f (0) = 13$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $13$ है.

$13$

चरण 3.2

$0$ को $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 13)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 13)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $14$ को $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $14$ से बदलें.

$f (14) = - {(14)}^{4} + 28 {(14)}^{3} - 28 \cdot 14 + 13$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$14$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (14) = - 1 \cdot 38416 + 28 {(14)}^{3} - 28 \cdot 14 + 13$

चरण 3.3.2.1.2

$- 1$ को $38416$ से गुणा करें.

$f (14) = - 38416 + 28 {(14)}^{3} - 28 \cdot 14 + 13$

चरण 3.3.2.1.3

$14$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (14) = - 38416 + 28 \cdot 2744 - 28 \cdot 14 + 13$

चरण 3.3.2.1.4

$28$ को $2744$ से गुणा करें.

$f (14) = - 38416 + 76832 - 28 \cdot 14 + 13$

चरण 3.3.2.1.5

$- 28$ को $14$ से गुणा करें.

$f (14) = - 38416 + 76832 - 392 + 13$

चरण 3.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$- 38416$ और $76832$ जोड़ें.

$f (14) = 38416 - 392 + 13$

चरण 3.3.2.2.2

$38416$ में से $392$ घटाएं.

$f (14) = 38024 + 13$

चरण 3.3.2.2.3

$38024$ और $13$ जोड़ें.

$f (14) = 38037$

चरण 3.3.2.3

अंतिम उत्तर $38037$ है.

$38037$

चरण 3.4

$14$ को $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(14, 38037)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(14, 38037)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 13), (14, 38037)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 14) \cup (14, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 168 (- 0.1)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 168 (- 0.1)$

चरण 5.2.1.2

$- 12$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 168 (- 0.1)$

चरण 5.2.1.3

$168$ को $- 0.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 16.8$

चरण 5.2.2

$- 0.12$ में से $16.8$ घटाएं.

$f'' (- 0.1) = - 16.92$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 16.92$ है.

$- 16.92$

चरण 5.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 16.92$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, 14)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $7$ से बदलें.

$f'' (7) = - 12 {(7)}^{2} + 168 (7)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (7) = - 12 \cdot 49 + 168 (7)$

चरण 6.2.1.2

$- 12$ को $49$ से गुणा करें.

$f'' (7) = - 588 + 168 (7)$

चरण 6.2.1.3

$168$ को $7$ से गुणा करें.

$f'' (7) = - 588 + 1176$

चरण 6.2.2

$- 588$ और $1176$ जोड़ें.

$f'' (7) = 588$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $588$ है.

$588$

चरण 6.3

$7$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $588$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, 14)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, 14)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(14, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $14.1$ से बदलें.

$f'' (14.1) = - 12 {(14.1)}^{2} + 168 (14.1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$14.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (14.1) = - 12 \cdot 198.81 + 168 (14.1)$

चरण 7.2.1.2

$- 12$ को $198.81$ से गुणा करें.

$f'' (14.1) = - 2385.72 + 168 (14.1)$

चरण 7.2.1.3

$168$ को $14.1$ से गुणा करें.

$f'' (14.1) = - 2385.72 + 2368.8$

चरण 7.2.2

$- 2385.72$ और $2368.8$ जोड़ें.

$f'' (14.1) = - 16.92$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 16.92$ है.

$- 16.92$

चरण 7.3

$14.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 16.92$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(14, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(14, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (14, 38037)$ .

$(0, 13), (14, 38037)$

चरण 9