कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $18 x^{2}$ का व्युत्पन्न $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $18$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

चरण 1.1.4.2

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x^{2}$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.3.2

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

चरण 1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $36$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $36 x$ का व्युत्पन्न $36 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

चरण 1.2.4.3

$36$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} + 48 x + 36$ है.

$12 x^{2} + 48 x + 36$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2} + 48 x + 36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2}) + 48 x + 36 = 0$

चरण 2.2.1.2

$48 x$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2}) + 12 (4 x) + 36 = 0$

चरण 2.2.1.3

$36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{2} + 12 (4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

चरण 2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 (4 x)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

चरण 2.2.1.5

$12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 4 x + 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $3$ है और जिसका योग $4$ है.

$1, 3$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$12 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 (x + 1) (x + 3) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 2.4

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.5

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 (x + 1) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, - 3$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 1$ को $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

चरण 3.1.2.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = 1 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

चरण 3.1.2.1.3

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

चरण 3.1.2.1.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 \cdot 1 + 8$

चरण 3.1.2.1.5

$18$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 + 8$

चरण 3.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$1$ में से $8$ घटाएं.

$f (- 1) = - 7 + 18 + 8$

चरण 3.1.2.2.2

$- 7$ और $18$ जोड़ें.

$f (- 1) = 11 + 8$

चरण 3.1.2.2.3

$11$ और $8$ जोड़ें.

$f (- 1) = 19$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $19$ है.

$19$

चरण 3.2

$- 1$ को $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 1, 19)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 1, 19)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 3$ को $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$- 3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 3) = 81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

चरण 3.3.2.1.2

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 3) = 81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

चरण 3.3.2.1.3

$8$ को $- 27$ से गुणा करें.

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

चरण 3.3.2.1.4

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 \cdot 9 + 8$

चरण 3.3.2.1.5

$18$ को $9$ से गुणा करें.

$f (- 3) = 81 - 216 + 162 + 8$

चरण 3.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$81$ में से $216$ घटाएं.

$f (- 3) = - 135 + 162 + 8$

चरण 3.3.2.2.2

$- 135$ और $162$ जोड़ें.

$f (- 3) = 27 + 8$

चरण 3.3.2.2.3

$27$ और $8$ जोड़ें.

$f (- 3) = 35$

चरण 3.3.2.3

अंतिम उत्तर $35$ है.

$35$

चरण 3.4

$- 3$ को $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 3, 35)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 3, 35)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- 1, 19), (- 3, 35)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3.1$ से बदलें.

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 48 (- 3.1) + 36$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 3.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 48 (- 3.1) + 36$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $9.61$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 48 (- 3.1) + 36$

चरण 5.2.1.3

$48$ को $- 3.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 148.8 + 36$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$115.32$ में से $148.8$ घटाएं.

$f'' (- 3.1) = - 33.48 + 36$

चरण 5.2.2.2

$- 33.48$ और $36$ जोड़ें.

$f'' (- 3.1) = 2.52$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $2.52$ है.

$2.52$

चरण 5.3

$- 3.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $2.52$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 3)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 3, - 1)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2) + 36$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2) + 36$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2) + 36$

चरण 6.2.1.3

$48$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (- 2) = 48 - 96 + 36$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$48$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (- 2) = - 48 + 36$

चरण 6.2.2.2

$- 48$ और $36$ जोड़ें.

$f'' (- 2) = - 12$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 12$ है.

$- 12$

चरण 6.3

$- 2$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 12$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 3, - 1)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 3, - 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 1, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.9$ से बदलें.

$f'' (- 0.9) = 12 {(- 0.9)}^{2} + 48 (- 0.9) + 36$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 0.9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.9) = 12 \cdot 0.81 + 48 (- 0.9) + 36$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $0.81$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.9) = 9.72 + 48 (- 0.9) + 36$

चरण 7.2.1.3

$48$ को $- 0.9$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.9) = 9.72 - 43.2 + 36$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$9.72$ में से $43.2$ घटाएं.

$f'' (- 0.9) = - 33.48 + 36$

चरण 7.2.2.2

$- 33.48$ और $36$ जोड़ें.

$f'' (- 0.9) = 2.52$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $2.52$ है.

$2.52$

चरण 7.3

$- 0.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $2.52$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- 1, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- 1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, 35), (- 1, 19)$ .

$(- 3, 35), (- 1, 19)$

चरण 9