कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x {(x - 4)}^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ है.

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.5

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

चरण 1.1.4.6

${(x - 4)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

चरण 1.1.5.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

चरण 1.1.5.3

$6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ में से $2 {(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.3.1

$6 x {(x - 4)}^{2}$ में से $2 {(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

चरण 1.1.5.3.2

$2 {(x - 4)}^{3}$ में से $2 {(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

चरण 1.1.5.3.3

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ में से $2 {(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

चरण 1.1.5.4

$3 x$ और $x$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.5

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.7.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.7.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.7.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.7.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.9.1

$- 8$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.9.2

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

चरण 1.1.5.10

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ का प्रसार करें.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.2.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.4

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.6.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.7

$- 16$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.8

$- 4$ को $- 16$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.9

$4$ को $32$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

चरण 1.1.5.11.10

$32$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

चरण 1.1.5.12

$- 8 x^{2}$ में से $64 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

चरण 1.1.5.13

$64 x$ और $128 x$ जोड़ें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 72$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 72 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $- 72$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.4

$\frac{d}{d x} [192 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $192$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $192 x$ का व्युत्पन्न $192 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.4.2

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.4.3

$192$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

चरण 1.2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 128$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 128$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

चरण 1.2.5.2

$24 x^{2} - 144 x + 192$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $24 x^{2} - 144 x + 192$ है.

$24 x^{2} - 144 x + 192$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$24 x^{2} - 144 x + 192$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$24 x^{2}$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 144 x$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

चरण 2.2.1.3

$192$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

चरण 2.2.1.4

$24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

चरण 2.2.1.5

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 6 x + 8$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $8$ है और जिसका योग $- 6$ है.

$- 4, - 2$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

चरण 2.4

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.5

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 4, 2$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $4$ को $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

चरण 3.1.2.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

चरण 3.1.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (4) = 8 \cdot 0$

चरण 3.1.2.4

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$f (4) = 0$

चरण 3.1.2.5

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3.2

$4$ को $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(4, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(4, 0)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $2$ को $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

चरण 3.3.2.2

$2$ में से $4$ घटाएं.

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

चरण 3.3.2.3

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 4 \cdot - 8$

चरण 3.3.2.4

$4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f (2) = - 32$

चरण 3.3.2.5

अंतिम उत्तर $- 32$ है.

$- 32$

चरण 3.4

$2$ को $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(2, - 32)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(2, - 32)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(4, 0), (2, - 32)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.9$ से बदलें.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$1.9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

चरण 5.2.1.2

$24$ को $3.61$ से गुणा करें.

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

चरण 5.2.1.3

$- 144$ को $1.9$ से गुणा करें.

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$86.64$ में से $273.6$ घटाएं.

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

चरण 5.2.2.2

$- 186.96$ और $192$ जोड़ें.

$f'' (1.9) = 5.04$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $5.04$ है.

$5.04$

चरण 5.3

$1.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $5.04$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, 2)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(2, 4)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

चरण 6.2.1.2

$24$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

चरण 6.2.1.3

$- 144$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$216$ में से $432$ घटाएं.

$f'' (3) = - 216 + 192$

चरण 6.2.2.2

$- 216$ और $192$ जोड़ें.

$f'' (3) = - 24$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 24$ है.

$- 24$

चरण 6.3

$3$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 24$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(2, 4)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(2, 4)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.1$ से बदलें.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$4.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

चरण 7.2.1.2

$24$ को $16.81$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

चरण 7.2.1.3

$- 144$ को $4.1$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$403.44$ में से $590.4$ घटाएं.

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

चरण 7.2.2.2

$- 186.96$ और $192$ जोड़ें.

$f'' (4.1) = 5.04$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $5.04$ है.

$5.04$

चरण 7.3

$4.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $5.04$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

चरण 9