कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 12$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 12$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 12$ से बदलें.

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

चरण 1.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 12$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ है.

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

चरण 1.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 12$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

चरण 1.1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

चरण 1.1.3.5.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

चरण 1.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

चरण 1.1.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.3.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

चरण 1.1.4.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

चरण 1.1.4.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

चरण 1.1.4.3.4

$8$ को $- 12$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{3} - 96 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 96$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 96 x$ का व्युत्पन्न $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

चरण 1.2.3.3

$- 96$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $24 x^{2} - 96$ है.

$24 x^{2} - 96$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $24 x^{2} - 96 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$24 x^{2} - 96 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $96$ जोड़ें.

$24 x^{2} = 96$

चरण 2.3

$24 x^{2} = 96$ के प्रत्येक पद को $24$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$24 x^{2} = 96$ के प्रत्येक पद को $24$ से विभाजित करें.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$24$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

चरण 2.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{96}{24}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$96$ को $24$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 4$

चरण 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 2.5

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 2.5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 2.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 2.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 2.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $2$ को $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

चरण 3.1.2.2

$4$ में से $12$ घटाएं.

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

चरण 3.1.2.3

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 2 \cdot 64$

चरण 3.1.2.4

$2$ को $64$ से गुणा करें.

$f (2) = 128$

चरण 3.1.2.5

अंतिम उत्तर $128$ है.

$128$

चरण 3.2

$2$ को $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(2, 128)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(2, 128)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 2$ को $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

चरण 3.3.2.2

$4$ में से $12$ घटाएं.

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

चरण 3.3.2.3

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

चरण 3.3.2.4

$2$ को $64$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 128$

चरण 3.3.2.5

अंतिम उत्तर $128$ है.

$128$

चरण 3.4

$- 2$ को $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 2, 128)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 2, 128)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(2, 128), (- 2, 128)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.1$ से बदलें.

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

चरण 5.2.1.2

$24$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

चरण 5.2.2

$105.84$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (- 2.1) = 9.84$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $9.84$ है.

$9.84$

चरण 5.3

$- 2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $9.84$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 2, 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

चरण 6.2.1.2

$24$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 96$

चरण 6.2.2

$0$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (0) = - 96$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 96$ है.

$- 96$

चरण 6.3

$0$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 96$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 2, 2)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 2, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.1$ से बदलें.

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

चरण 7.2.1.2

$24$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

चरण 7.2.2

$105.84$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (2.1) = 9.84$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $9.84$ है.

$9.84$

चरण 7.3

$2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $9.84$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(2, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(2, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

चरण 9