कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

चरण 1

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{8}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{8} x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.3

$4$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.4

$\frac{4}{8}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.5

$4$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.5.1

$4 x^{3}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.5.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

चरण 2.2.2.3

$3$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

चरण 2.2.2.4

$\frac{3}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

चरण 2.2.3.3

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ है.

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

चरण 3.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 3.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

जोड़ना.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 3.4.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 3.4.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 3.4.1.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 3.4.1.1.3.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 3.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\frac{2}{3} \cdot 6$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

चरण 3.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

चरण 3.4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

चरण 3.4.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{2} = 4$

चरण 3.5

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 3.6

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 3.6.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 3.7

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 3.7.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 3.7.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $2$ को $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1

$16$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

चरण 4.1.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

चरण 4.1.2.1.4

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$f (2) = 2 - 12$

चरण 4.1.2.2

$2$ में से $12$ घटाएं.

$f (2) = - 10$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $- 10$ है.

$- 10$

चरण 4.2

$2$ को $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(2, - 10)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(2, - 10)$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 2$ को $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.2.1

$16$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.3

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

चरण 4.3.2.1.4

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 2 - 12$

चरण 4.3.2.2

$2$ में से $12$ घटाएं.

$f (- 2) = - 10$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 10$ है.

$- 10$

चरण 4.4

$- 2$ को $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 2, - 10)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 2, - 10)$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.1$ से बदलें.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

चरण 6.2.1.2

$3$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

चरण 6.2.1.3

$13.23$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

चरण 6.2.2

$6.615$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (- 2.1) = 0.615$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $0.615$ है.

$0.615$

चरण 6.3

$- 2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.615$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 2, 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

चरण 7.2.1.2

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

चरण 7.2.1.3

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (0) = 0 - 6$

चरण 7.2.2

$0$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (0) = - 6$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$- 6$

चरण 7.3

$0$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 6$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 2, 2)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 2, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.1$ से बदलें.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

चरण 8.2.1.2

$3$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

चरण 8.2.1.3

$13.23$ को $2$ से विभाजित करें.

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

चरण 8.2.2

$6.615$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (2.1) = 0.615$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $0.615$ है.

$0.615$

चरण 8.3

$2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.615$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(2, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(2, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 2, - 10), (2, - 10)$ हैं.

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

चरण 10