कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$

चरण 1

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x - 2)}^{3} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 2$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.2.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

चरण 2.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 0$

चरण 2.1.3.2

$3 {(x - 2)}^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

${(x - 2)}^{2}$ को $(x - 2) (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 2) (x - 2)))$

चरण 2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

चरण 2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

चरण 2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

चरण 2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

चरण 2.2.3.1.2

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

चरण 2.2.3.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

चरण 2.2.3.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x + 4))$

चरण 2.2.4

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 (x^{2} - 4 x + 4)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ है.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)$

चरण 2.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.2.7

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.2.8

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.2.9

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4))$

चरण 2.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + 0)$

चरण 2.2.11

$2 x - 4$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 3 (2 x - 4)$

चरण 2.2.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 4$

चरण 2.2.12.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.12.2.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 4$

चरण 2.2.12.2.2

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x - 12$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x - 12$ है.

$6 x - 12$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x - 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x - 12 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $12$ जोड़ें.

$6 x = 12$

चरण 3.3

$6 x = 12$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$6 x = 12$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

चरण 3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{12}{6}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$12$ को $6$ से विभाजित करें.

$x = 2$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $2$ को $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = {((2) - 2)}^{3} + 3$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (2) = 0^{3} + 3$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (2) = 0 + 3$

चरण 4.1.2.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$f (2) = 3$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $3$ है.

$3$

चरण 4.2

$2$ को $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(2, 3)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(2, 3)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.9$ से बदलें.

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$6$ को $1.9$ से गुणा करें.

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

चरण 6.2.2

$11.4$ में से $12$ घटाएं.

$f'' (1.9) = - 0.6$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.6$ है.

$- 0.6$

चरण 6.3

$1.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.6$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 2)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.1$ से बदलें.

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$6$ को $2.1$ से गुणा करें.

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

चरण 7.2.2

$12.6$ में से $12$ घटाएं.

$f'' (2.1) = 0.6$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $0.6$ है.

$0.6$

चरण 7.3

$2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.6$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(2, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(2, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(2, 3)$ है.

$(2, 3)$

चरण 9