कैलकुलस उदाहरण

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

चरण 1

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [13]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{6}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ है.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.2.3

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{5}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.3.3

$5$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.4.3

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + \frac{d}{d x} (13)$

चरण 2.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $13$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $13$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + 0$

चरण 2.1.5.2

$- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x^{5}$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.2.2

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.2.3

$5$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $30$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $30 x^{4}$ का व्युत्पन्न $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.3.3

$4$ को $30$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6)$

चरण 2.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + 0$

चरण 2.2.4.2

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3}$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ है.

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$

चरण 3.2

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 30 x^{4}$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- 30 x^{3} x + 120 x^{3} = 0$

चरण 3.2.2

$120 x^{3}$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 4 = 0$

चरण 3.2.3

$- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 4)$ में से $- 30 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$- 30 x^{3} (x - 4) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{3} = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 3.4

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $x^{3} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 3.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 3.4.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 3.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 30 x^{3} (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 4$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = - 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

चरण 4.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 13$

चरण 4.1.2.1.4

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 13$

चरण 4.1.2.1.5

$- 6$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

चरण 4.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 0 + 13$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 13$

चरण 4.1.2.2.3

$0$ और $13$ जोड़ें.

$f (0) = 13$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $13$ है.

$13$

चरण 4.2

$0$ को $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 13)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 13)$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $4$ को $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f (4) = - {(4)}^{6} + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$4$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (4) = - 1 \cdot 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1$ को $4096$ से गुणा करें.

$f (4) = - 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

चरण 4.3.2.1.3

$4$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (4) = - 4096 + 6 \cdot 1024 - 6 \cdot 4 + 13$

चरण 4.3.2.1.4

$6$ को $1024$ से गुणा करें.

$f (4) = - 4096 + 6144 - 6 \cdot 4 + 13$

चरण 4.3.2.1.5

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$f (4) = - 4096 + 6144 - 24 + 13$

चरण 4.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$- 4096$ और $6144$ जोड़ें.

$f (4) = 2048 - 24 + 13$

चरण 4.3.2.2.2

$2048$ में से $24$ घटाएं.

$f (4) = 2024 + 13$

चरण 4.3.2.2.3

$2024$ और $13$ जोड़ें.

$f (4) = 2037$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $2037$ है.

$2037$

चरण 4.4

$4$ को $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(4, 2037)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(4, 2037)$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 13), (4, 2037)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 120 {(- 0.1)}^{3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

चरण 6.2.1.2

$- 30$ को $0.0001$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

चरण 6.2.1.3

$- 0.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 \cdot - 0.001$

चरण 6.2.1.4

$120$ को $- 0.001$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.12$

चरण 6.2.2

$- 0.003$ में से $0.12$ घटाएं.

$f'' (- 0.1) = - 0.123$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.123$ है.

$- 0.123$

चरण 6.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.123$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, 4)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = - 30 {(2)}^{4} + 120 {(2)}^{3}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = - 30 \cdot 16 + 120 {(2)}^{3}$

चरण 7.2.1.2

$- 30$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - 480 + 120 {(2)}^{3}$

चरण 7.2.1.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = - 480 + 120 \cdot 8$

चरण 7.2.1.4

$120$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - 480 + 960$

चरण 7.2.2

$- 480$ और $960$ जोड़ें.

$f'' (2) = 480$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $480$ है.

$480$

चरण 7.3

$2$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $480$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, 4)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.1$ से बदलें.

$f'' (4.1) = - 30 {(4.1)}^{4} + 120 {(4.1)}^{3}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$4.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4.1) = - 30 \cdot 282.5761 + 120 {(4.1)}^{3}$

चरण 8.2.1.2

$- 30$ को $282.5761$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 {(4.1)}^{3}$

चरण 8.2.1.3

$4.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 \cdot 68.921$

चरण 8.2.1.4

$120$ को $68.921$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 8270.52$

चरण 8.2.2

$- 8477.283$ और $8270.52$ जोड़ें.

$f'' (4.1) = - 206.763$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 206.763$ है.

$- 206.763$

चरण 8.3

$4.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 206.763$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(4, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(4, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 2037)$ .

$(0, 13), (4, 2037)$

चरण 10