कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

चरण 1.1.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

चरण 1.1.4.2.2

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

चरण 1.1.4.2.3

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$f' (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\sin (2 x) - \sin (x)$ है.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\sin (2 x) - \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

चरण 2.2

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

चरण 2.3

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

चरण 2.3.2

$- \sin (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

चरण 2.3.3

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.5

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 2.5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 2.5.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 2.5.2.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.5.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.5.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.5.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.5.2.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

$2 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$2 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.6.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \cos (x) = 1$

चरण 2.6.2.2

$2 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

चरण 2.6.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 2.6.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 2.6.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

चरण 2.6.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 2.6.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 2.6.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 2.6.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

चरण 2.6.2.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{3}$

चरण 2.6.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.6.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.6.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.6.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.6.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin^{2} (0) + \cos (0)$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$0^{2} + \cos (0)$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + \cos (0)$

चरण 4.1.2.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 1$

चरण 4.1.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

$x = π$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$π$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin^{2} (π) + \cos (π)$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\sin^{2} (0) + \cos (π)$

चरण 4.2.2.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$0^{2} + \cos (π)$

चरण 4.2.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + \cos (π)$

चरण 4.2.2.1.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$0 - \cos (0)$

चरण 4.2.2.1.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 4.2.2.1.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 4.2.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 4.3

$x = \frac{π}{3}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{π}{3}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.3.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.3.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

चरण 4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 4.3.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

चरण 4.3.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

चरण 4.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 + 2}{4}$

चरण 4.3.2.5

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{5}{4}$

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1), (\frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5