कैलकुलस उदाहरण

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

${(6 - 2 x)}^{2}$ को $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

चरण 1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3.1.2

$- 2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3.1.3

$6$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

चरण 1.1.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

चरण 1.1.3.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

चरण 1.1.3.1.6

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

चरण 1.1.3.2

$- 12 x$ में से $12 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

चरण 1.1.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ है.

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $36 - 24 x + 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ है.

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ जोड़ें.

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.4

चूंकि $- 24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 24 x$ का व्युत्पन्न $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.6

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.7

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.9

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.10

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

चरण 1.1.5.11

$36 - 24 x + 4 x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1

$- 24$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2.6

$- 24 x$ में से $24 x$ घटाएं.

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

चरण 1.1.6.2.7

$8 x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

चरण 1.1.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 48 x + 36$ है.

$12 x^{2} - 48 x + 36$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2} - 48 x + 36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 48 x$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

चरण 2.2.1.3

$36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

चरण 2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

चरण 2.2.1.5

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 4 x + 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $3$ है और जिसका योग $- 4$ है.

$- 3, - 1$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.4

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.5

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x {(6 - 2 x)}^{2}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 {(6 - 6)}^{2}$

चरण 4.1.2.2

$6$ में से $6$ घटाएं.

$3 \cdot 0^{2}$

चरण 4.1.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$3 \cdot 0$

चरण 4.1.2.4

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 4.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

चरण 4.2.2.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

${(6 - 2)}^{2}$

चरण 4.2.2.3

$6$ में से $2$ घटाएं.

$4^{2}$

चरण 4.2.2.4

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$16$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(3, 0), (1, 16)$

चरण 5