कैलकुलस उदाहरण

$y = x \ln (x + 3)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x + 3)$ है.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 3$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 3$ से बदलें.

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$\frac{1}{x + 3}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.5.2

$\frac{x}{x + 3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.6

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

चरण 1.1.3.7

$\ln (x + 3)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

चरण 1.1.4

$\ln (x + 3)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 3}{x + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

चरण 1.1.6.1.1.2

$\ln (x + 3) \cdot 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1.1.2.1

$\ln (x + 3)$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

चरण 1.1.6.1.1.2.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \cdot \ln (x + 3)$ को सरल करें.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

चरण 1.1.6.1.2

गुणनखंडों को $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

चरण 1.1.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ है.

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx - 1.14544928$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x + 3 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 3.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x + 3)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x + 3 \leq 0$

चरण 3.4

असमानता के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x \leq - 3$

चरण 3.5

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln ({(x + 3)}^{3})$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

चरण 3.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

चरण 3.6.2

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

चरण 3.6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.1.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 3.6.2.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x + 3 \leq 0$

चरण 3.6.3

असमानता के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x \leq - 3$

चरण 3.7

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x \ln (x + 3)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - 1.14544928$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1.14544928$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1.14544928$ और $3$ जोड़ें.

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

चरण 4.1.2.2

$1.14544928$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ को सरल करें.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

चरण 4.1.2.3

$1.85455071$ को $1.14544928$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \ln (2.02886823)$

चरण 4.2

$x = - 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 3$ और $3$ जोड़ें.

$- 3 \ln (0)$

चरण 4.2.2.2

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

चरण 5