कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x + 1}$ को ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 1.1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 1.1.10

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

चरण 1.1.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 1.1.11.2

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 2.3

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

चरण 4.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

चरण 4.2

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$\sqrt{x + 1}$ को ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.3

घातांक को ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.4

सरल करें.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.6

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 x + 4 = 0^{2}$

चरण 4.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 x + 4 = 0$

चरण 4.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$4 x = - 4$

चरण 4.3.3.2

$4 x = - 4$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$4 x = - 4$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

चरण 4.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

चरण 4.3.3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 4}{4}$

चरण 4.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.3.1

$- 4$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = - 1$

चरण 4.4

रेडिकैंड को $\sqrt{x + 1}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x + 1 < 0$

चरण 4.5

असमानता के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x < - 1$

चरण 4.6

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \sqrt{x + 1}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ है.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

चरण 6.2.1.3

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

चरण 6.2.1.4

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

चरण 6.2.2

भाजक को वास्तविक बनाने के लिए $\frac{1}{2 i}$ के न्यूमेरेटर और भाजक को $2 i$ के संयुग्म से गुणा करें.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

चरण 6.2.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

जोड़ना.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

चरण 6.2.3.2

$i$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

चरण 6.2.3.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.3.1

कोष्ठक लगाएं.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

चरण 6.2.3.3.2

$i$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

चरण 6.2.3.3.3

$i$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

चरण 6.2.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

चरण 6.2.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

चरण 6.2.3.3.6

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

चरण 6.2.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

चरण 6.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

चरण 6.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{i}{2}$ है.

$- \frac{i}{2}$

चरण 6.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $- \frac{i}{2}$ है. चूँकि इसमें एक काल्पनिक संख्या है, इसलिए फलन $(- \infty, - 1)$ पर मौजूद नहीं है.

$(- \infty, - 1)$ पर फलन वास्तविक नहीं है क्योंकि $f' (x)$ काल्पनिक है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

चरण 7.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2}$

चरण 7.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $\frac{1}{2}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 1, \infty)$

चरण 9