कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 3$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 3$ से बदलें.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

चरण 1.1.3.6

$2$ को ${(x + 3)}^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ में से $x {(x + 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ में से $x {(x + 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

चरण 1.1.4.1.2

$2 {(x + 3)}^{3} x$ में से $x {(x + 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.1.3

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ में से $x {(x + 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.2

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.3

${(x + 3)}^{2}$ को $(x + 3) (x + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 3) (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.5.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.5.1.2

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.5.1.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.5.2

$3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.7.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.7.1.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.7.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.7.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.7.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.7.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.7.3

$9$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.8

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.8.1

$x$ ले जाएं.

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.8.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

चरण 1.1.4.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

चरण 1.1.4.9.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

चरण 1.1.4.10

$3 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

चरण 1.1.4.11

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ का प्रसार करें.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.12.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.2

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.12.2.1

$x$ ले जाएं.

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.2.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.12.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.2.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.3

$6$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.5

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.12.5.1

$x$ ले जाएं.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.5.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.12.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.6

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.7

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.8

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.9

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.12.9.1

$x$ ले जाएं.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.9.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.10

$9$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

चरण 1.1.4.12.11

$6$ को $9$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

चरण 1.1.4.13

$6 x^{3}$ और $30 x^{3}$ जोड़ें.

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

चरण 1.1.4.14

$36 x^{2}$ और $45 x^{2}$ जोड़ें.

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ है.

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$5 x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

चरण 2.2.1.2

$36 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

चरण 2.2.1.3

$81 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

चरण 2.2.1.4

$54 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

चरण 2.2.1.5

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

चरण 2.2.1.6

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

चरण 2.2.1.7

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

चरण 2.2.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

चरण 2.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

चरण 2.2.2.3

$- 3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

$- 3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

चरण 2.2.2.3.2

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

चरण 2.2.2.3.3

$5$ को $- 27$ से गुणा करें.

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

चरण 2.2.2.3.4

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

चरण 2.2.2.3.5

$36$ को $9$ से गुणा करें.

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

चरण 2.2.2.3.6

$- 135$ और $324$ जोड़ें.

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

चरण 2.2.2.3.7

$81$ को $- 3$ से गुणा करें.

$189 - 243 + 54$

चरण 2.2.2.3.8

$189$ में से $243$ घटाएं.

$- 54 + 54$

चरण 2.2.2.3.9

$- 54$ और $54$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.2.2.4

चूँकि $- 3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

चरण 2.2.2.5

$5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ को $x + 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

चरण 2.2.2.5.2

भाज्य $5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

चरण 2.2.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

चरण 2.2.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{3} + 15 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

चरण 2.2.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

चरण 2.2.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

चरण 2.2.2.5.7

भाज्य $21 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

चरण 2.2.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

चरण 2.2.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $21 x^{2} + 63 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

चरण 2.2.2.5.10

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

चरण 2.2.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

चरण 2.2.2.5.12

भाज्य $18 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

चरण 2.2.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

चरण 2.2.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $18 x + 54$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

चरण 2.2.2.5.15

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

चरण 2.2.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

चरण 2.2.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ लिखें.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

चरण 2.2.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ है और जिसका योग $b = 21$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1.1.1

$21 x$ में से $21$ का गुणनखंड करें.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

चरण 2.2.3.1.1.1.2

$21$ को $6$ जोड़ $15$ के रूप में फिर से लिखें

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

चरण 2.2.3.1.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

चरण 2.2.3.1.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

चरण 2.2.3.1.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

चरण 2.2.3.1.1.3

महत्तम समापवर्तक, $5 x + 6$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

चरण 2.2.3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

चरण 2.2.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

चरण 2.2.4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$x + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

चरण 2.2.4.2

$x + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

चरण 2.2.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

चरण 2.2.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

${(x + 3)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

${(x + 3)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 3)}^{2} = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए ${(x + 3)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 2.6

$5 x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$5 x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x + 6 = 0$

चरण 2.6.2

$x$ के लिए $5 x + 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$5 x = - 6$

चरण 2.6.2.2

$5 x = - 6$ के प्रत्येक पद को $5$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1

$5 x = - 6$ के प्रत्येक पद को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

चरण 2.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.2.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

चरण 2.6.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 6}{5}$

चरण 2.6.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{6}{5}$

चरण 2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, - 3, - \frac{6}{5}$ हैं.

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

चरण 5.2.1.2

$5$ को $256$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

चरण 5.2.1.3

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

चरण 5.2.1.4

$36$ को $- 64$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

चरण 5.2.1.5

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

चरण 5.2.1.6

$81$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

चरण 5.2.1.7

$54$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$1280$ में से $2304$ घटाएं.

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

चरण 5.2.2.2

$- 1024$ और $1296$ जोड़ें.

$f' (- 4) = 272 - 216$

चरण 5.2.2.3

$272$ में से $216$ घटाएं.

$f' (- 4) = 56$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $56$ है.

$56$

चरण 5.3

$x = - 4$ पर व्युत्पन्न $56$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 3)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 3, - \frac{6}{5})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.1$ से बदलें.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.2

$5$ को $19.4481$ से गुणा करें.

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.3

$- 2.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.4

$36$ को $- 9.261$ से गुणा करें.

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.5

$- 2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.6

$81$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

चरण 6.2.1.7

$54$ को $- 2.1$ से गुणा करें.

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$97.2405$ में से $333.396$ घटाएं.

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

चरण 6.2.2.2

$- 236.1555$ और $357.21$ जोड़ें.

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

चरण 6.2.2.3

$121.0545$ में से $113.4$ घटाएं.

$f' (- 2.1) = 7.6545$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $7.6545$ है.

$7.6545$

चरण 6.3

$x = - 2.1$ पर व्युत्पन्न $7.6545$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 3, - \frac{6}{5})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 3, - \frac{6}{5})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1.2, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.6$ से बदलें.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 0.6$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2.1.2

$5$ को $0.1296$ से गुणा करें.

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2.1.3

$- 0.6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2.1.4

$36$ को $- 0.216$ से गुणा करें.

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2.1.5

$- 0.6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2.1.6

$81$ को $0.36$ से गुणा करें.

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

चरण 7.2.1.7

$54$ को $- 0.6$ से गुणा करें.

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$0.648$ में से $7.776$ घटाएं.

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

चरण 7.2.2.2

$- 7.128$ और $29.16$ जोड़ें.

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

चरण 7.2.2.3

$22.032$ में से $32.4$ घटाएं.

$f' (- 0.6) = - 10.368$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 10.368$ है.

$- 10.368$

चरण 7.3

$x = - 0.6$ पर व्युत्पन्न $- 10.368$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 1.2, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \frac{6}{5}, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

चरण 8.2.1.2

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

चरण 8.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

चरण 8.2.1.4

$36$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

चरण 8.2.1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

चरण 8.2.1.6

$81$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

चरण 8.2.1.7

$54$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

चरण 8.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$5$ और $36$ जोड़ें.

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

चरण 8.2.2.2

$41$ और $81$ जोड़ें.

$f' (1) = 122 + 54$

चरण 8.2.2.3

$122$ और $54$ जोड़ें.

$f' (1) = 176$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $176$ है.

$176$

चरण 8.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $176$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \frac{6}{5}, 0)$

चरण 10