कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ है.

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.4

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.6

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.6.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.10

$1$ में से $4$ घटाएं.

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.11

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

चरण 1.1.2.13

$2 x^{- 3}$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 2 x^{- 3}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

चरण 1.1.3.2

$2$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ है.

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, x^{3}, 1$

चरण 2.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{3}$

चरण 2.3

भिन्नों को हटाने के लिए $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

चरण 2.3.2.1.1.2

$x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

चरण 2.3.2.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

चरण 2.3.2.1.1.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

चरण 2.3.2.1.2

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

चरण 2.3.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

$2 x^{4} + 2 = 0$

चरण 2.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$2 x^{4} = - 2$

चरण 2.4.2

$2 x^{4} = - 2$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$2 x^{4} = - 2$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

चरण 2.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

चरण 2.4.2.2.1.2

$x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

चरण 2.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

$- 2$ को $2$ से विभाजित करें.

$x^{4} = - 1$

चरण 2.4.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

चरण 2.4.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

चरण 2.4.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

चरण 2.4.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

चरण 2.5

उन हलों को छोड़ दें जो $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$कोई हल नहीं$

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{2}{x^{3}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{3} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 4.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ है.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

चरण 6.2.1.3

$2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$f' (- 1) = - 2 - 2$

चरण 6.2.2

$- 2$ में से $2$ घटाएं.

$f' (- 1) = - 4$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 4$ है.

$- 4$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- 4$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

चरण 7.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

चरण 7.2.1.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (1) = 2 + 2$

चरण 7.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f' (1) = 4$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $4$ है.

$4$

चरण 7.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $4$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0)$

चरण 9