कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{1}{x^{2} - 4}$ को ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2} - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 4$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 4$ से बदलें.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

चरण 1.1.3.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

चरण 1.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

चरण 1.1.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

चरण 1.1.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

चरण 1.1.5.3

$x$ और $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.5.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ है.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x = 0$

चरण 2.3

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

चरण 4.2.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

चरण 4.2.1.3

उत्पाद नियम को $(x + 2) (x - 2)$ पर लागू करें.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.3

${(x + 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

${(x + 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.3.2

$x$ के लिए ${(x + 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 4.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 4.2.4

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 4.2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 2$

चरण 4.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 2, x = 2$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$9$ में से $4$ घटाएं.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{6}{25}$ है.

$\frac{6}{25}$

चरण 6.3

$x = - 3$ पर व्युत्पन्न $\frac{6}{25}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 2)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 2, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

चरण 7.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{2}{9}$ है.

$\frac{2}{9}$

चरण 7.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{2}{9}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 2, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 2, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{2}{9}$ है.

$- \frac{2}{9}$

चरण 8.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{2}{9}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 2)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

चरण 9.2.2.2

$9$ में से $4$ घटाएं.

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

चरण 9.2.2.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{6}{25}$ है.

$- \frac{6}{25}$

चरण 9.3

$x = 3$ पर व्युत्पन्न $- \frac{6}{25}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(2, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(2, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 2), (2, \infty)$

चरण 11