कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

चरण 1.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} - 36$ है.

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

$x^{2} - 36$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 36$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ है.

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.8

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.9

$2$ और $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.1.10.2.2

$2$ को $- 36$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ है.

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $72$ जोड़ें.

$- 2 x^{2} = 72$

चरण 2.3.2

$- 2 x^{2} = 72$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- 2 x^{2} = 72$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

चरण 2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

चरण 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

चरण 2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

$72$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$x^{2} = - 36$

चरण 2.3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- 36}$

चरण 2.3.4

$\pm \sqrt{- 36}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$- 36$ को $- 1 (36)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

चरण 2.3.4.2

$\sqrt{- 1 (36)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

चरण 2.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

चरण 2.3.4.4

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

चरण 2.3.4.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 6$

चरण 2.3.4.6

$6$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 6 i$

चरण 2.3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 6 i$

चरण 2.3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 6 i$

चरण 2.3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 6 i, - 6 i$

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

चरण 4.2.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

चरण 4.2.1.3

उत्पाद नियम को $(x + 6) (x - 6)$ पर लागू करें.

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

चरण 4.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

चरण 4.2.3

${(x + 6)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

${(x + 6)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 6)}^{2} = 0$

चरण 4.2.3.2

$x$ के लिए ${(x + 6)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.1

$x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 6 = 0$

चरण 4.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$x = - 6$

चरण 4.2.4

${(x - 6)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

${(x - 6)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 6)}^{2} = 0$

चरण 4.2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 6)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 4.2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 4.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 6, 6$

चरण 4.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 6, x = 6$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 6)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 7$ से बदलें.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$- 2$ को $49$ से गुणा करें.

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 6.2.1.3

$- 98$ में से $72$ घटाएं.

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$49$ में से $36$ घटाएं.

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$13$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{170}{169}$ है.

$- \frac{170}{169}$

चरण 6.3

$x = - 7$ पर व्युत्पन्न $- \frac{170}{169}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 6)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 6)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 6, 6)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 7.2.1.3

$0$ में से $72$ घटाएं.

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$0$ में से $36$ घटाएं.

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$- 36$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

चरण 7.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$- 72$ और $1296$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

$- 72$ में से $72$ का गुणनखंड करें.

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

चरण 7.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.2.1

$1296$ में से $72$ का गुणनखंड करें.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

चरण 7.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

चरण 7.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

चरण 7.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{18}$ है.

$- \frac{1}{18}$

चरण 7.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $- \frac{1}{18}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 6, 6)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 6, 6)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(6, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $7$ से बदलें.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$- 2$ को $49$ से गुणा करें.

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 8.2.1.3

$- 98$ में से $72$ घटाएं.

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$49$ में से $36$ घटाएं.

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$13$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

चरण 8.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{170}{169}$ है.

$- \frac{170}{169}$

चरण 8.3

$x = 7$ पर व्युत्पन्न $- \frac{170}{169}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(6, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(6, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

चरण 10