कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.2.3

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

चरण 1.1.4.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

$0$ में से $12$ घटाएं.

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

चरण 1.1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ है.

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$- 3 x^{2}$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

चरण 2.2.1.2

$12 x$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 12$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

चरण 2.2.1.4

$- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

चरण 2.2.1.5

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

चरण 2.2.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

चरण 2.2.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

चरण 2.2.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

चरण 2.2.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 2$ है.

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 2.3

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 2.3.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $- 3$ से विभाजित करें.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 2.4

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 2.5

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $2$ हैं.

$2$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ है.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

चरण 5.2.1.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

चरण 5.2.1.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 3$ और $12$ जोड़ें.

$f' (1) = 9 - 12$

चरण 5.2.2.2

$9$ में से $12$ घटाएं.

$f' (1) = - 3$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 5.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $- 3$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 2)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

चरण 6.2.1.2

$- 3$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

चरण 6.2.1.3

$12$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 27$ और $36$ जोड़ें.

$f' (3) = 9 - 12$

चरण 6.2.2.2

$9$ में से $12$ घटाएं.

$f' (3) = - 3$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 6.3

$x = 3$ पर व्युत्पन्न $- 3$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(2, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(2, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

चरण 8