कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 3$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 24 x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 24 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 24$ से गुणा करें.

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 x^{2} - 48 x + 0$

चरण 1.1.4.2

$12 x^{2} - 48 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 48 x$ है.

$12 x^{2} - 48 x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 48 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 48 x = 0$

चरण 2.2

$12 x^{2} - 48 x$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2}$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x) - 48 x = 0$

चरण 2.2.2

$- 48 x$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x) + 12 x (- 4) = 0$

चरण 2.2.3

$12 x (x) + 12 x (- 4)$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x - 4) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 x (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 4$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 4$ हैं.

$0, 4$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} - 48 \cdot - 1$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = 12 \cdot 1 - 48 \cdot - 1$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 12 - 48 \cdot - 1$

चरण 5.2.1.3

$- 48$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 12 + 48$

चरण 5.2.2

$12$ और $48$ जोड़ें.

$f' (- 1) = 60$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $60$ है.

$60$

चरण 5.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $60$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (2) = 48 - 48 \cdot 2$

चरण 6.2.1.3

$- 48$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 48 - 96$

चरण 6.2.2

$48$ में से $96$ घटाएं.

$f' (2) = - 48$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 48$ है.

$- 48$

चरण 6.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $- 48$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 4)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 4)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = 12 {(5)}^{2} - 48 \cdot 5$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = 12 \cdot 25 - 48 \cdot 5$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $25$ से गुणा करें.

$f' (5) = 300 - 48 \cdot 5$

चरण 7.2.1.3

$- 48$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (5) = 300 - 240$

चरण 7.2.2

$300$ में से $240$ घटाएं.

$f' (5) = 60$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $60$ है.

$60$

चरण 7.3

$x = 5$ पर व्युत्पन्न $60$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(4, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 4)$

चरण 9