कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 4 x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 x + 4 + 0$

चरण 1.1.4.2

$8 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 8 x + 4$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $8 x + 4$ है.

$8 x + 4$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $8 x + 4 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$8 x + 4 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$8 x = - 4$

चरण 2.3

$8 x = - 4$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$8 x = - 4$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 4}{8}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- 4$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

चरण 2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

चरण 2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

चरण 2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{2}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \frac{1}{2}$ हैं.

$- \frac{1}{2}$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 8 x + 4$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ है.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{1}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{3}{2}$ से बदलें.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$- \frac{3}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

चरण 5.2.1.1.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

चरण 5.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

चरण 5.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

चरण 5.2.1.2

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

चरण 5.2.2

$- 12$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 8$ है.

$- 8$

चरण 5.3

$x = - \frac{3}{2}$ पर व्युत्पन्न $- 8$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \frac{1}{2})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \frac{1}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \frac{1}{2}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

चरण 6.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

चरण 6.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

चरण 6.2.2

$4$ और $4$ जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $8$ है.

$8$

चरण 6.3

$x = \frac{1}{2}$ पर व्युत्पन्न $8$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \frac{1}{2}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \frac{1}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \frac{1}{2}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \frac{1}{2})$

चरण 8