कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 2$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 1.1.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

चरण 1.1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

चरण 1.1.11

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

चरण 1.1.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

चरण 1.1.12.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.1

$x$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.3.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.3.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.4

$4$ और $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.5

$4 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.6.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.6.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.7

$2$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.8

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.9

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.10

$4$ और $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.3.11

$2 x^{\frac{1}{2}}$ और $4 x^{\frac{1}{2}}$ जोड़ें.

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ है.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

चरण 2.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3

भिन्नों को हटाने के लिए $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ के प्रत्येक पद को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ के प्रत्येक पद को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.1.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.2

$6 x^{1}$ को सरल करें.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$6 x + 4 = 0$

चरण 2.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$6 x = - 4$

चरण 2.4.2

$6 x = - 4$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$6 x = - 4$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

चरण 2.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

चरण 2.4.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 4}{6}$

चरण 2.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

$- 4$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

चरण 2.4.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

चरण 2.4.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.4.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{2}{3}$

चरण 2.5

उन हलों को छोड़ दें जो $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$कोई हल नहीं$

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.1.2

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

चरण 4.1.3

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

चरण 4.1.4

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

चरण 4.2

$\frac{4}{\sqrt{x}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{x} = 0$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.2

सरल करें.

$x = 0^{2}$

चरण 4.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x = 0$

चरण 4.4

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x < 0$

चरण 4.5

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ है.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

चरण 6.2.1.4.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

चरण 6.2.1.4.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

चरण 6.2.1.5

भाजक को वास्तविक बनाने के लिए $\frac{4}{i}$ के न्यूमेरेटर और भाजक को $i$ के संयुग्म से गुणा करें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

चरण 6.2.1.6

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.6.1

जोड़ना.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

चरण 6.2.1.6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.6.2.1

$i$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

चरण 6.2.1.6.2.2

$i$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

चरण 6.2.1.6.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

चरण 6.2.1.6.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

चरण 6.2.1.6.2.5

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

चरण 6.2.1.7

ऋणात्मक को $\frac{4 i}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

चरण 6.2.1.8

$- 1 \cdot (4 i)$ को $- (4 i)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

चरण 6.2.1.9

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

चरण 6.2.2

$6 i$ में से $4 i$ घटाएं.

$f' (- 1) = 2 i$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $2 i$ है.

$2 i$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $2 i$ है. चूँकि इसमें एक काल्पनिक संख्या है, इसलिए फलन $(- \infty, 0)$ पर मौजूद नहीं है.

$(- \infty, 0)$ पर फलन वास्तविक नहीं है क्योंकि $f' (x)$ काल्पनिक है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.1.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

चरण 7.2.1.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (1) = 6 + 4$

चरण 7.2.2

$6$ और $4$ जोड़ें.

$f' (1) = 10$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $10$ है.

$10$

चरण 7.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $10$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, \infty)$

चरण 9