कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.4.3

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

चरण 1.1.5.2

$12 x^{2} + 6 x - 6$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} + 6 x - 6$ है.

$12 x^{2} + 6 x - 6$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2} + 6 x - 6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

चरण 2.2.1.2

$6 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

चरण 2.2.1.4

$6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

चरण 2.2.1.5

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1.1

$1$ से गुणा करें.

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

चरण 2.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 2.4

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 2.4.2.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 2.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{1}{2}, - 1$ हैं.

$\frac{1}{2}, - 1$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 6$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = 12 \cdot 4 + 6 (- 2) - 6$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 48 + 6 (- 2) - 6$

चरण 5.2.1.3

$6$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 48 - 12 - 6$

चरण 5.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$48$ में से $12$ घटाएं.

$f' (- 2) = 36 - 6$

चरण 5.2.2.2

$36$ में से $6$ घटाएं.

$f' (- 2) = 30$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $30$ है.

$30$

चरण 5.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $30$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 1)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 1)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1, \frac{1}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.25$ से बदलें.

$f' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 6$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.25$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 6$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $0.0625$ से गुणा करें.

$f' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 6$

चरण 6.2.1.3

$6$ को $- 0.25$ से गुणा करें.

$f' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 6$

चरण 6.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0.75$ में से $1.5$ घटाएं.

$f' (- 0.25) = - 0.75 - 6$

चरण 6.2.2.2

$- 0.75$ में से $6$ घटाएं.

$f' (- 0.25) = - 6.75$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 6.75$ है.

$- 6.75$

चरण 6.3

$x = - 0.25$ पर व्युत्पन्न $- 6.75$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 1, \frac{1}{2})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 1, \frac{1}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{1}{2}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.5$ से बदलें.

$f' (1.5) = 12 {(1.5)}^{2} + 6 (1.5) - 6$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$1.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.5) = 12 \cdot 2.25 + 6 (1.5) - 6$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $2.25$ से गुणा करें.

$f' (1.5) = 27 + 6 (1.5) - 6$

चरण 7.2.1.3

$6$ को $1.5$ से गुणा करें.

$f' (1.5) = 27 + 9 - 6$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$27$ और $9$ जोड़ें.

$f' (1.5) = 36 - 6$

चरण 7.2.2.2

$36$ में से $6$ घटाएं.

$f' (1.5) = 30$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $30$ है.

$30$

चरण 7.3

$x = 1.5$ पर व्युत्पन्न $30$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{1}{2}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{1}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 1), (\frac{1}{2}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- 1, \frac{1}{2})$

चरण 9