कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 45$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 45 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 45$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} (150 x)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [150 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $150$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $150 x$ का व्युत्पन्न $150 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

चरण 1.1.4.3

$150$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 90 x + 150$ है.

$12 x^{2} - 90 x + 150$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2} - 90 x + 150$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) - 90 x + 150 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 90 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 150 = 0$

चरण 2.2.1.3

$150$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 6 (25) = 0$

चरण 2.2.1.4

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25) = 0$

चरण 2.2.1.5

$6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ है और जिसका योग $b = - 15$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1.1

$- 15 x$ में से $- 15$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.2

$- 15$ को $- 5$ जोड़ $- 10$ के रूप में फिर से लिखें

$6 (2 x^{2} + (- 5 - 10) x + 25) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (2 x^{2} - 5 x - 10 x + 25) = 0$

चरण 2.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$6 ((2 x^{2} - 5 x) - 10 x + 25) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$6 (x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) = 0$

चरण 2.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 5$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$6 ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

चरण 2.4

$2 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 5 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $2 x - 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$2 x = 5$

चरण 2.4.2.2

$2 x = 5$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$2 x = 5$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

चरण 2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

चरण 2.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{5}{2}$

चरण 2.5

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{5}{2}, 5$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{5}{2}, 5$ हैं.

$\frac{5}{2}, 5$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 5) \cup (5, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{5}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.5$ से बदलें.

$f' (1.5) = 12 {(1.5)}^{2} - 90 \cdot 1.5 + 150$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$1.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.5) = 12 \cdot 2.25 - 90 \cdot 1.5 + 150$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $2.25$ से गुणा करें.

$f' (1.5) = 27 - 90 \cdot 1.5 + 150$

चरण 5.2.1.3

$- 90$ को $1.5$ से गुणा करें.

$f' (1.5) = 27 - 135 + 150$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$27$ में से $135$ घटाएं.

$f' (1.5) = - 108 + 150$

चरण 5.2.2.2

$- 108$ और $150$ जोड़ें.

$f' (1.5) = 42$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $42$ है.

$42$

चरण 5.3

$x = 1.5$ पर व्युत्पन्न $42$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, \frac{5}{2})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, \frac{5}{2})$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(2.5, 5)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.75$ से बदलें.

$f' (3.75) = 12 {(3.75)}^{2} - 90 \cdot 3.75 + 150$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$3.75$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3.75) = 12 \cdot 14.0625 - 90 \cdot 3.75 + 150$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $14.0625$ से गुणा करें.

$f' (3.75) = 168.75 - 90 \cdot 3.75 + 150$

चरण 6.2.1.3

$- 90$ को $3.75$ से गुणा करें.

$f' (3.75) = 168.75 - 337.5 + 150$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$168.75$ में से $337.5$ घटाएं.

$f' (3.75) = - 168.75 + 150$

चरण 6.2.2.2

$- 168.75$ और $150$ जोड़ें.

$f' (3.75) = - 18.75$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 18.75$ है.

$- 18.75$

चरण 6.3

$x = 3.75$ पर व्युत्पन्न $- 18.75$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(2.5, 5)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{5}{2}, 5)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(5, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f' (6) = 12 {(6)}^{2} - 90 \cdot 6 + 150$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (6) = 12 \cdot 36 - 90 \cdot 6 + 150$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $36$ से गुणा करें.

$f' (6) = 432 - 90 \cdot 6 + 150$

चरण 7.2.1.3

$- 90$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (6) = 432 - 540 + 150$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$432$ में से $540$ घटाएं.

$f' (6) = - 108 + 150$

चरण 7.2.2.2

$- 108$ और $150$ जोड़ें.

$f' (6) = 42$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $42$ है.

$42$

चरण 7.3

$x = 6$ पर व्युत्पन्न $42$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(5, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(5, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, \frac{5}{2}), (5, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(\frac{5}{2}, 5)$

चरण 9