कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

${(2 x - 3)}^{2}$ को $(2 x - 3) (2 x - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

चरण 1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x - 3) (2 x - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

चरण 1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

चरण 1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3.1.4

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3.1.5

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

चरण 1.1.3.1.6

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

चरण 1.1.3.2

$- 6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

चरण 1.1.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ है.

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} - 12 x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.5

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.7

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.8

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.9

$8 x - 12$ और $0$ जोड़ें.

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.10

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

चरण 1.1.5.11

$4 x^{2} - 12 x + 9$ को $1$ से गुणा करें.

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2.5

$- 12$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2.6

$8 x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

चरण 1.1.6.2.7

$- 12 x$ में से $12 x$ घटाएं.

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 24 x + 9$ है.

$12 x^{2} - 24 x + 9$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2} - 24 x + 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 24 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

चरण 2.2.1.3

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

चरण 2.2.1.4

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

चरण 2.2.1.5

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ है और जिसका योग $b = - 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1.1

$- 8 x$ में से $- 8$ का गुणनखंड करें.

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.2

$- 8$ को $- 2$ जोड़ $- 6$ के रूप में फिर से लिखें

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

चरण 2.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

चरण 2.4

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 2.4.2.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 2.5

$2 x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 3 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $2 x - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$2 x = 3$

चरण 2.5.2.2

$2 x = 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$2 x = 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

चरण 2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

चरण 2.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{3}{2}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ हैं.

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{1}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.5$ से बदलें.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $0.25$ से गुणा करें.

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

चरण 5.2.1.3

$- 24$ को $- 0.5$ से गुणा करें.

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

चरण 5.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3$ और $12$ जोड़ें.

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

चरण 5.2.2.2

$15$ और $9$ जोड़ें.

$f' (- 0.5) = 24$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $24$ है.

$24$

चरण 5.3

$x = - 0.5$ पर व्युत्पन्न $24$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, \frac{1}{2})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, \frac{1}{2})$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0.5, \frac{3}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

चरण 6.2.1.3

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$12$ में से $24$ घटाएं.

$f' (1) = - 12 + 9$

चरण 6.2.2.2

$- 12$ और $9$ जोड़ें.

$f' (1) = - 3$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 6.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $- 3$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0.5, \frac{3}{2})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{3}{2}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.5$ से बदलें.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $6.25$ से गुणा करें.

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

चरण 7.2.1.3

$- 24$ को $2.5$ से गुणा करें.

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$75$ में से $60$ घटाएं.

$f' (2.5) = 15 + 9$

चरण 7.2.2.2

$15$ और $9$ जोड़ें.

$f' (2.5) = 24$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $24$ है.

$24$

चरण 7.3

$x = 2.5$ पर व्युत्पन्न $24$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{3}{2}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{3}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

चरण 9