कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{3} + 7 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $24 x^{2} + 7$ है.

$24 x^{2} + 7$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $24 x^{2} + 7 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$24 x^{2} + 7 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $7$ घटाएं.

$24 x^{2} = - 7$

चरण 2.3

$24 x^{2} = - 7$ के प्रत्येक पद को $24$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$24 x^{2} = - 7$ के प्रत्येक पद को $24$ से विभाजित करें.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$24$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

चरण 2.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

चरण 2.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

चरण 2.5

$\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$- \frac{7}{24}$ को ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$- 1$ को $i^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

चरण 2.5.1.2

$7$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

चरण 2.5.1.3

$24$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

चरण 2.5.1.4

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

चरण 2.5.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ को ${(\frac{i}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

चरण 2.5.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

चरण 2.5.3

$\sqrt{\frac{7}{6}}$ को $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

चरण 2.5.4

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ को $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

चरण 2.5.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.5.1

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ को $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

चरण 2.5.5.2

$\sqrt{6}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

चरण 2.5.5.3

$\sqrt{6}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

चरण 2.5.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

चरण 2.5.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

चरण 2.5.5.6

${\sqrt{6}}^{2}$ को $6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.5.6.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 2.5.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.5.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.5.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

चरण 2.5.5.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

चरण 2.5.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

चरण 2.5.6.2

$7$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

चरण 2.5.7

$\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.1

$\frac{i}{2}$ को $\frac{\sqrt{42}}{6}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

चरण 2.5.7.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

चरण 2.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

चरण 2.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

चरण 2.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

कोई भी संख्या व्युत्पन्न $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित नहीं बनाता है. $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ बढ़ रहा है या घट रहा है, यह जांचने के लिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ है.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5

परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है या नहीं, यह जांचने के लिए व्युत्पन्न $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ में अंतराल $(- \infty, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $1$ प्रतिस्थापित करें. यदि परिणाम ऋणात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ घट रहा है. यदि परिणाम धनात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

चरण 5.2.1.2

$24$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = 24 + 7$

चरण 5.2.2

$24$ और $7$ जोड़ें.

$f' (1) = 31$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $31$ है.

$31$

चरण 6

$1$ को $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ में बदलने का परिणाम $31$ है, जो धनात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

$24 x^{2} + 7 > 0$ के बाद से $(- \infty, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

अंतराल $(- \infty, \infty)$ के ऊपर बढ़ने का अर्थ है कि फलन हमेशा बढ़ रहा है.

हमेशा बढ़ता हुआ

चरण 8