कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [105 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x^{5}$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.2.3

$5$ को $- 12$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [105 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $105$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $105 x^{4}$ का व्युत्पन्न $105 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.3.3

$4$ को $105$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 240$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 240 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 \frac{d}{d x} x^{3}$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 (3 x^{2})$

चरण 1.1.4.3

$3$ को $- 240$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ है.

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ में से $- 60 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$- 60 x^{4}$ में से $- 60 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 60 x^{2} x^{2} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

चरण 2.2.1.2

$420 x^{3}$ में से $- 60 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 720 x^{2} = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 720 x^{2}$ में से $- 60 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

चरण 2.2.1.4

$- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 7 x)$ में से $- 60 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

चरण 2.2.1.5

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} (12)$ में से $- 60 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 7 x + 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $12$ है और जिसका योग $- 7$ है.

$- 4, - 3$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 60 x^{2} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 2.4

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.6

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 4, 3$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 4, 3$ हैं.

$0, 4, 3$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2.1.2

$- 60$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 60 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2.1.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 60 + 420 \cdot - 1 - 720 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2.1.4

$420$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2.1.5

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 \cdot 1$

चरण 5.2.1.6

$- 720$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720$

चरण 5.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 60$ में से $420$ घटाएं.

$f' (- 1) = - 480 - 720$

चरण 5.2.2.2

$- 480$ में से $720$ घटाएं.

$f' (- 1) = - 1200$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 1200$ है.

$- 1200$

चरण 5.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- 1200$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 {(\frac{3}{2})}^{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.2

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{81}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$- 60$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (- 15) (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{3}{2}) = - 15 (\frac{81}{4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.5

$- 15$ और $\frac{81}{4}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 15 \cdot 81}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.6

$- 15$ को $81$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.8

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.9

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.10

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.11

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.11.1

$420$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 (105) (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.11.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.11.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.11.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 105 (\frac{27}{2}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.12

$105$ और $\frac{27}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{105 \cdot 27}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.13

$105$ को $27$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.14

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

चरण 6.2.1.15

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{9}{2^{2}}$

चरण 6.2.1.16

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 (\frac{9}{4})$

चरण 6.2.1.17

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.17.1

$- 720$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 (- 180) (\frac{9}{4})$

चरण 6.2.1.17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{9}{4}))$

चरण 6.2.1.17.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 180 \cdot 9$

चरण 6.2.1.18

$- 180$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 1620$

चरण 6.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$\frac{2835}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1620$

चरण 6.2.2.2

$\frac{2835}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1620$

चरण 6.2.2.3

$- 1620$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1}$

चरण 6.2.2.4

$\frac{- 1620}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 6.2.2.5

$\frac{- 1620}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

चरण 6.2.2.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{4} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

चरण 6.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 2835 \cdot 2 - 1620 \cdot 4}{4}$

चरण 6.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$2835$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 1620 \cdot 4}{4}$

चरण 6.2.4.2

$- 1620$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 6480}{4}$

चरण 6.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$- 1215$ और $5670$ जोड़ें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4455 - 6480}{4}$

चरण 6.2.5.2

$4455$ में से $6480$ घटाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2025}{4}$

चरण 6.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2025}{4}$

चरण 6.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{2025}{4}$ है.

$- \frac{2025}{4}$

चरण 6.3

$x = \frac{3}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{2025}{4}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 3)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 3)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(3, 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{7}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 {(\frac{7}{2})}^{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{7}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{7^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.2

$7$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{2401}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.4.1

$- 60$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 (- 15) (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.4.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{7}{2}) = - 15 (\frac{2401}{4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.5

$- 15$ और $\frac{2401}{4}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 15 \cdot 2401}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.6

$- 15$ को $2401$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.8

उत्पाद नियम को $\frac{7}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{7^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.9

$7$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.10

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.11

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.11.1

$420$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 (105) (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.11.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.11.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.11.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 105 (\frac{343}{2}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.12

$105$ और $\frac{343}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{105 \cdot 343}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.13

$105$ को $343$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

चरण 7.2.1.14

उत्पाद नियम को $\frac{7}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

चरण 7.2.1.15

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{49}{2^{2}}$

चरण 7.2.1.16

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 (\frac{49}{4})$

चरण 7.2.1.17

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.17.1

$- 720$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 (- 180) (\frac{49}{4})$

चरण 7.2.1.17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{49}{4}))$

चरण 7.2.1.17.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 180 \cdot 49$

चरण 7.2.1.18

$- 180$ को $49$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 8820$

चरण 7.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$\frac{36015}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} \cdot \frac{2}{2} - 8820$

चरण 7.2.2.2

$\frac{36015}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 8820$

चरण 7.2.2.3

$- 8820$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1}$

चरण 7.2.2.4

$\frac{- 8820}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 7.2.2.5

$\frac{- 8820}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

चरण 7.2.2.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{4} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

चरण 7.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 36015 \cdot 2 - 8820 \cdot 4}{4}$

चरण 7.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$36015$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 8820 \cdot 4}{4}$

चरण 7.2.4.2

$- 8820$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 35280}{4}$

चरण 7.2.5

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1

$- 36015$ और $72030$ जोड़ें.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{36015 - 35280}{4}$

चरण 7.2.5.2

$36015$ में से $35280$ घटाएं.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{735}{4}$

चरण 7.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{735}{4}$ है.

$\frac{735}{4}$

चरण 7.3

$x = \frac{7}{2}$ पर व्युत्पन्न $\frac{735}{4}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(3, 4)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(3, 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = - 60 {(5)}^{4} + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 60 \cdot 625 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

चरण 8.2.1.2

$- 60$ को $625$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 37500 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

चरण 8.2.1.3

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 37500 + 420 \cdot 125 - 720 {(5)}^{2}$

चरण 8.2.1.4

$420$ को $125$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 {(5)}^{2}$

चरण 8.2.1.5

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 \cdot 25$

चरण 8.2.1.6

$- 720$ को $25$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 18000$

चरण 8.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$- 37500$ और $52500$ जोड़ें.

$f' (5) = 15000 - 18000$

चरण 8.2.2.2

$15000$ में से $18000$ घटाएं.

$f' (5) = - 3000$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 3000$ है.

$- 3000$

चरण 8.3

$x = 5$ पर व्युत्पन्न $- 3000$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(4, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(4, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(3, 4)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0), (0, 3), (4, \infty)$

चरण 10