कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 216 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} - 15 x^{2} - 216 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 15$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 15 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 15$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (- 216 x)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 216 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 216$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 216 x$ का व्युत्पन्न $- 216 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 216 \frac{d}{d x} x$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 216 \cdot 1$

चरण 1.1.4.3

$- 216$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 216$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{2} - 30 x - 216$ है.

$6 x^{2} - 30 x - 216$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} - 30 x - 216 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{2} - 30 x - 216 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$6 x^{2} - 30 x - 216$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$6 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) - 30 x - 216 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 30 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) - 216 = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 216$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot - 36 = 0$

चरण 2.2.1.4

$6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 36 = 0$

चरण 2.2.1.5

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 36$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} - 5 x - 36) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 5 x - 36$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 36$ है और जिसका योग $- 5$ है.

$- 9, 4$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$6 ((x - 9) (x + 4)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (x - 9) (x + 4) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 9 = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 2.4

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 9 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $9$ जोड़ें.

$x = 9$

चरण 2.5

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (x - 9) (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 9, - 4$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $9, - 4$ हैं.

$9, - 4$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 9) \cup (9, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5$ से बदलें.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{2} - 30 \cdot - 5 - 216$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 5) = 6 \cdot 25 - 30 \cdot - 5 - 216$

चरण 5.2.1.2

$6$ को $25$ से गुणा करें.

$f' (- 5) = 150 - 30 \cdot - 5 - 216$

चरण 5.2.1.3

$- 30$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f' (- 5) = 150 + 150 - 216$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$150$ और $150$ जोड़ें.

$f' (- 5) = 300 - 216$

चरण 5.2.2.2

$300$ में से $216$ घटाएं.

$f' (- 5) = 84$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $84$ है.

$84$

चरण 5.3

$x = - 5$ पर व्युत्पन्न $84$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 4)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 4, 9)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.2

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.4.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.5

$3$ और $\frac{25}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.6

$3$ को $25$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.7.1

$- 30$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) - 216$

चरण 6.2.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) - 216$

चरण 6.2.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 - 216$

चरण 6.2.1.8

$- 15$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 - 216$

चरण 6.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 75$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} - 216$

चरण 6.2.2.2

$\frac{- 75}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} - 216$

चरण 6.2.2.3

$\frac{- 75}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} - 216$

चरण 6.2.2.4

$- 216$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 216}{1}$

चरण 6.2.2.5

$\frac{- 216}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 6.2.2.6

$\frac{- 216}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 216 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 - 216 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$- 75$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 216 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.4.2

$- 216$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 432}{2}$

चरण 6.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$75$ में से $150$ घटाएं.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 - 432}{2}$

चरण 6.2.5.2

$- 75$ में से $432$ घटाएं.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 507}{2}$

चरण 6.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{507}{2}$

चरण 6.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{507}{2}$ है.

$- \frac{507}{2}$

चरण 6.3

$x = \frac{5}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{507}{2}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 4, 9)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 4, 9)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(9, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $10$ से बदलें.

$f' (10) = 6 {(10)}^{2} - 30 \cdot 10 - 216$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (10) = 6 \cdot 100 - 30 \cdot 10 - 216$

चरण 7.2.1.2

$6$ को $100$ से गुणा करें.

$f' (10) = 600 - 30 \cdot 10 - 216$

चरण 7.2.1.3

$- 30$ को $10$ से गुणा करें.

$f' (10) = 600 - 300 - 216$

चरण 7.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$600$ में से $300$ घटाएं.

$f' (10) = 300 - 216$

चरण 7.2.2.2

$300$ में से $216$ घटाएं.

$f' (10) = 84$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $84$ है.

$84$

चरण 7.3

$x = 10$ पर व्युत्पन्न $84$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(9, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(9, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 4), (9, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- 4, 9)$

चरण 9