कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 1

समाकलन को $0$ पर विभाजित करें और लिमिट के योग के रूप में लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 1 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 1 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 1 - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

चरण 2.3

$x$ के लिए $u = 1 - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{upper} = 1 - 0$

चरण 2.4.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1 + 0$

चरण 2.4.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{upper} = 1$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 3.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 7

$e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$1$ पर और $1 - t^{2}$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 8.2

सरल करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

चरण 9

मान लीजिए $u = 1 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 1 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$1 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 9.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 9.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 9.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 9.1.3.2

$0 - (2 x)$

चरण 9.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 9.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 9.2

$x$ के लिए $u = 1 - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 - 0$

चरण 9.3.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 9.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 9.4

$x$ के लिए $u = 1 - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

चरण 9.5

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

चरण 9.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 10.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 11

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

चरण 13

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

चरण 14

$e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

चरण 15

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$1 - t^{2}$ पर और $1$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

चरण 15.2

सरल करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16

सीमाओं का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16.1.2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16.1.3

जैसे-जैसे $t$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16.1.4

$e$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16.2

चूँकि घातांक $1 - t^{2}$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{1 - t^{2}}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

चरण 16.3.2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

चरण 16.3.3

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

चरण 16.4

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

चरण 16.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$e$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

चरण 16.5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.2.1.1

$e$ में से $0$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

चरण 16.5.2.1.2

$e$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

चरण 16.5.2.1.3

$0$ में से $e$ घटाएं.

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

चरण 16.5.2.1.4

$- \frac{1}{2} (- e)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

चरण 16.5.2.1.4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

चरण 16.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ और $e$ को मिलाएं.

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

चरण 16.5.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- e + e}{2}$

चरण 16.5.2.3

$- e$ और $e$ जोड़ें.

$\frac{0}{2}$

चरण 16.5.2.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$0$