कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 1$ और $g (x) = x^{2} + 3$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.2

$x^{2} + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.8.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.2

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ है और जिसका योग $b = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.1.2

$2$ को $- 1$ जोड़ $3$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.7

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.8

$- (x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.9

$- (x + 1)$ को $- 1 (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ है.

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 2.3.2

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.3.3

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 1) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 3$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- 1, 3$ हैं.

$- 1, 3$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.2.1.2

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2

$4$ और $3$ जोड़ें.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

चरण 5.2.2.3

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{5}{49}$ है.

$- \frac{5}{49}$

चरण 5.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $- \frac{5}{49}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 1)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1, 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

चरण 6.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

चरण 6.2.3.2

$- 4$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

चरण 6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

चरण 6.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

चरण 6.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

चरण 6.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1}{4}$ है.

$\frac{1}{4}$

चरण 6.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{1}{4}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 1, 3)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 1, 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$4$ और $1$ जोड़ें.

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$16$ और $3$ जोड़ें.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$19$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

चरण 7.2.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{5}{361}$ है.

$- \frac{5}{361}$

चरण 7.3

$x = 4$ पर व्युत्पन्न $- \frac{5}{361}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(3, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(3, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 1, 3)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

चरण 9