कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} - x + 1$ है.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

$x^{2} - x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.9

$2 x - 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.4

$- x \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.4.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.2

$x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.2.1

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.2.2

$x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.3

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.2

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ है.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

चरण 1.2.3.2

$1 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$1 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 + x = 0$

चरण 1.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.3.3

$1 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$1 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 - x = 0$

चरण 1.2.3.3.2

$x$ के लिए $1 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x = - 1$

चरण 1.2.3.3.2.2

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.2.1

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.3.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.3.3.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.3.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 1.2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(1 + x) (1 - x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 1$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

चरण 1.4.1.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

चरण 1.4.1.2.1.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 1}{2 + 1}$

चरण 1.4.1.2.1.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 1}{3}$

चरण 1.4.1.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{3}$

चरण 1.4.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

चरण 1.4.2.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

चरण 1.4.2.2.1.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{0 + 1}$

चरण 1.4.2.2.1.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{1}$

चरण 1.4.2.2.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$1$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

$(1, 1)$

चरण 3

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

चरण 3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

चरण 3.1.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

चरण 3.1.2.1.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{0}{0 + 1}$

चरण 3.1.2.1.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0}{1}$

चरण 3.1.2.2

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 3.2

$x = 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

चरण 3.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

चरण 3.2.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

चरण 3.2.2.3

$9$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{3}{6 + 1}$

चरण 3.2.2.4

$6$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3}{7}$

चरण 3.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(1, 1)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(0, 0)$

चरण 5