कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 36$ और $g (x) = x^{2} + 36$ है.

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 36$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ है.

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4.2

$2$ को $x^{2} + 36$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 36$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.8.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.1.1

$2 x^{2} x$ में से $2 x^{2} x$ घटाएं.

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.1.2

$2 \cdot 36 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.2.1

$2$ को $36$ से गुणा करें.

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.2.2

$- 2$ को $- 36$ से गुणा करें.

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.3

$72 x$ और $72 x$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ है.

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$144 x = 0$

चरण 1.2.3

$144 x = 0$ के प्रत्येक पद को $144$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$144 x = 0$ के प्रत्येक पद को $144$ से विभाजित करें.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$144$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{144}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$0$ को $144$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

चरण 1.4.1.2.1.2

$0$ में से $36$ घटाएं.

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

चरण 1.4.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{- 36}{0 + 36}$

चरण 1.4.1.2.2.2

$0$ और $36$ जोड़ें.

$\frac{- 36}{36}$

चरण 1.4.1.2.3

$- 36$ को $36$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 1.4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, - 1)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 36$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 36$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

${(- 36)}^{2} - 36$ और ${(- 36)}^{2} + 36$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.1

${(- 36)}^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

चरण 2.1.2.1.1.2

$36$ को $- 1 (- 36)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

चरण 2.1.2.1.1.3

$- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

चरण 2.1.2.1.1.4

${(- 36)}^{2}$ में से $- 36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

चरण 2.1.2.1.1.5

$- 36$ में से $- 36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

चरण 2.1.2.1.1.6

$- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ में से $- 36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

चरण 2.1.2.1.1.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.7.1

$- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ में से $- 36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

चरण 2.1.2.1.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

चरण 2.1.2.1.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

चरण 2.1.2.1.2

$- 36$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

चरण 2.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$- 1$ को $- 36$ से गुणा करें.

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

चरण 2.1.2.2.2

$36$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

चरण 2.1.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

$- 1$ को $37$ से गुणा करें.

$\frac{- 35}{- 37}$

चरण 2.1.2.3.2

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{35}{37}$

चरण 2.2

$x = 36$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$36$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(36)}^{2} - 36$ और ${(36)}^{2} + 36$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

${(36)}^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

चरण 2.2.2.1.2

$- 36$ को $- 1 (36)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

चरण 2.2.2.1.3

$- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

चरण 2.2.2.1.4

$- 1 (- 36^{2} + 36)$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

चरण 2.2.2.1.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.5.1

$36^{2}$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

चरण 2.2.2.1.5.2

$36$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

चरण 2.2.2.1.5.3

$36 \cdot 36 + 36 (1)$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

चरण 2.2.2.1.5.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

चरण 2.2.2.1.5.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

चरण 2.2.2.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$- 1$ को $36$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

चरण 2.2.2.2.2

$- 36$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

चरण 2.2.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

$36$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

चरण 2.2.2.3.2

$- 1$ को $- 35$ से गुणा करें.

$\frac{35}{37}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(0, - 1)$

चरण 4