कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + e^{- 4 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

चरण 1.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 4 x$ के रूप में सेट करें.

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 1.1.1.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 1.1.1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 4 x$ से बदलें.

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 1.1.1.2.2

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.1.2.3

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

चरण 1.1.1.2.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

चरण 1.1.1.2.5

$- 4$ को $e^{- 4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $1 - 4 e^{- 4 x}$ है.

$1 - 4 e^{- 4 x}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

चरण 1.2.3

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$e^{- 4 x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

चरण 1.2.4

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

चरण 1.2.5

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$- 4 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- 4 x})$ का प्रसार करें.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

चरण 1.2.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

चरण 1.2.5.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

चरण 1.2.6

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

चरण 1.2.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

चरण 1.2.6.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

चरण 1.2.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $x + e^{- 4 x}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

चरण 1.4.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ को $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

चरण 1.4.1.2.2

$\frac{1}{4}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ को सरल करें.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

चरण 1.4.1.2.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

चरण 1.4.1.2.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

चरण 1.4.1.2.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.5.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

चरण 1.4.1.2.5.2

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

चरण 1.4.1.2.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

चरण 1.4.1.2.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

चरण 1.4.1.2.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

चरण 1.4.1.2.7

$\ln (\frac{1}{4})$ को $1$ से गुणा करें.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

चरण 1.4.1.2.8

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

चरण 1.4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

चरण 2.1.2

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 2 + e^{8}$

चरण 2.2

$x = 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

चरण 2.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$3 + e^{- 12}$

चरण 2.2.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(- 2, - 2 + e^{8})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

चरण 4