कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x y + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.2.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $27$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $27$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x$ घटाएं.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

चरण 5.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

चरण 5.2

$x y' + 2 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

चरण 5.2.2

$2 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

चरण 5.2.3

$y' (x) + y' (2 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

चरण 5.3

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ के प्रत्येक पद को $x + 2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ के प्रत्येक पद को $x + 2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$x + 2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

चरण 5.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

चरण 5.3.3.2

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

चरण 5.3.3.3

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

चरण 5.3.3.4

$- (2 x) - (y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

चरण 5.3.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

$- (2 x + y)$ को $- 1 (2 x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

चरण 5.3.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

चरण 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ सेट करें और फिर $x$ को $y$ के रूप में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x + y = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$2 x = - y$

चरण 7.2.2

$2 x = - y$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2 x = - y$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

चरण 7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

चरण 7.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- y}{2}$

चरण 7.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{y}{2}$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{y}{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{y}{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.3

$\frac{y^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.5

$(- \frac{y}{2}) y$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.5.1

$y$ और $\frac{y}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.5.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.5.3

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

चरण 8.1.1.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

चरण 8.1.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$\frac{y^{2}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

चरण 8.1.2.2

$\frac{y^{2}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

चरण 8.1.2.3

$y^{2}$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

चरण 8.1.2.4

$\frac{y^{2}}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

चरण 8.1.2.5

$\frac{y^{2}}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

चरण 8.1.2.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

चरण 8.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

चरण 8.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

चरण 8.1.4.2

$4$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

चरण 8.1.5

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.5.1

$y^{2}$ में से $2 y^{2}$ घटाएं.

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

चरण 8.1.5.2

$- y^{2}$ और $4 y^{2}$ जोड़ें.

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{4}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

चरण 8.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

जोड़ना.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

चरण 8.3.1.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

चरण 8.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

चरण 8.3.1.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

चरण 8.3.1.1.3.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

चरण 8.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$\frac{4}{3} \cdot 27$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

चरण 8.3.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

चरण 8.3.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

चरण 8.3.2.1.2

$4$ को $9$ से गुणा करें.

$y^{2} = 36$

चरण 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

चरण 8.5

$\pm \sqrt{36}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

चरण 8.5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm 6$

चरण 8.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = 6$

चरण 8.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - 6$

चरण 8.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = 6, - 6$

चरण 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = - \frac{6}{2}$

चरण 9.2

$- \frac{6}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$6$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = - 1 \cdot 3$

चरण 9.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$x = - 3$

चरण 10

$- \frac{- 6}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 6$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = - - 3$

चरण 10.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = 3$

चरण 11

$\frac{d y}{d x} = 0$ वाले बिंदुओं को पता करें.

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

चरण 12